Через середину гипотенузы прямоугольного треугольника ABC проведен к его плоскости перпендикуляр KO, равный 8,5 см. BC = 8 см, AC = 15 см. Вычислите углы между плоскостью треугольника и наклонными KA, KB, KC.

### Задача 74 **Дано:** $\triangle ABC$ — прямоугольный, $KO \perp (ABC)$, $O$ — середина гипотенузы $AB$, $KO = 8,5$ см, $BC = 8$ см, $AC = 15$ см. **Найти:** $\angle (KA, (ABC))$, $\angle (KB, (ABC))$, $\angle (KC, (ABC))$. **Решение:** 1. Углом между наклонной и плоскостью является угол между этой наклонной и её проекцией на данную плоскость. Так как $KO \perp (ABC)$, то точки $A, B, C$ являются проекциями точек $A, B, C$ сами на себя, а точка $O$ — проекция точки $K$. Значит, искомые углы — это $\angle KAO$, $\angle KBO$ и $\angle KCO$. 2. Найдем гипотенузу $AB$ по теореме Пифагора: $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17$ (см). 3. Так как $O$ — середина $AB$, то $AO = OB = \frac{AB}{2} = \frac{17}{2} = 8,5$ (см). 4. В прямоугольном $\triangle ABC$ медиана $CO$, проведенная к гипотенузе, равна её половине: $CO = \frac{AB}{2} = 8,5$ (см). 5. Рассмотрим прямоугольные треугольники $KOA, KOB, KOC$ (у них общий катет $KO = 8,5$ см): $ g \angle KAO = \frac{KO}{AO} = \frac{8,5}{8,5} = 1 \Rightarrow \angle KAO = 45^\circ$. $ g \angle KBO = \frac{KO}{OB} = \frac{8,5}{8,5} = 1 \Rightarrow \angle KBO = 45^\circ$. $ g \angle KCO = \frac{KO}{CO} = \frac{8,5}{8,5} = 1 \Rightarrow \angle KCO = 45^\circ$. **Ответ:** $45^\circ, 45^\circ, 45^\circ$. --- ### Задача 75 **Дано:** $ABCD$ — ромб, $AB = a$, $\angle A = 60^\circ$, $DK \perp (ABC)$, $DK = a$. **Найти:** 1) $\angle (AK, (ABC))$, $\angle (BK, (ABC))$, $\angle (CK, (ABC))$. 2) $\angle (AC, (DKB))$. **Решение:** 1) Проекциями наклонных $AK, BK, CK$ на плоскость ромба являются отрезки $AD, BD, CD$ соответственно. - $\triangle ADK$ (прямоугольный): $ g \angle KAD = \frac{DK}{AD} = \frac{a}{a} = 1 \Rightarrow \angle KAD = 45^\circ$. - В ромбе $\triangle ABD$ равносторонний ($AB=AD=a, \angle A=60^\circ$), значит $BD = a$. - $\triangle BDK$ (прямоугольный): $ g \angle KBD = \frac{DK}{BD} = \frac{a}{a} = 1 \Rightarrow \angle KBD = 45^\circ$. - $\triangle CDK$ (прямоугольный): $ g \angle KCD = \frac{DK}{CD} = \frac{a}{a} = 1 \Rightarrow \angle KCD = 45^\circ$. 2) Диагонали ромба перпендикулярны ($AC \perp BD$). Так как $DK \perp (ABC)$, то $DK \perp AC$. Следовательно, прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BD$ и $DK$ плоскости $(DKB)$, значит $AC \perp (DKB)$. Угол между прямой и плоскостью, которой она перпендикулярна, равен $90^\circ$. **Ответ:** 1) $45^\circ, 45^\circ, 45^\circ$; 2) $90^\circ$.