В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины измерений AB = 4, AD = 5 и AA1 = 20. Найди угол между диагональю B1D и плоскостью (ABC).

**Ответ: $\arcsin\left(\frac{20}{21}\right)$ (или примерно $72,2^{\circ}$)** **Решение:** 1. Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. 2. Для диагонали $B_1D$ её проекцией на плоскость основания $(ABC)$ является отрезок $BD$, так как $B_1B \perp (ABC)$. 3. Значит, искомый угол — это $\angle B_1DB$ в прямоугольном треугольнике $B_1BD$ (где $\angle B_1BD = 90^{\circ}$). 4. Найдём длину диагонали основания $BD$ по теореме Пифагора из $\triangle ABD$: $BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}$. 5. Найдём длину диагонали параллелепипеда $B_1D$: $B_1D = \sqrt{AB^2 + AD^2 + AA_1^2} = \sqrt{4^2 + 5^2 + 20^2} = \sqrt{16 + 25 + 400} = \sqrt{441} = 21$. 6. Вычислим синус искомого угла $\alpha$: $\sin \alpha = \frac{B_1B}{B_1D} = \frac{AA_1}{B_1D} = \frac{20}{21}$. 7. Следовательно, $\alpha = \arcsin\left(\frac{20}{21}\right)$.