1. Через вершину A правильного треугольника ABC проведена плоскость ̑ параллельно стороне BC так, что сторона AC составляет с этой плоскостью угол в 30°. Найдите длину проекции медианы AD треугольника ABC на плоскость ̑, если AB = 12 см.

1. 1) В правильном треугольнике $ABC$ со стороной $a = 12$ см медиана $AD$ также является высотой. Ее длина: $AD = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см. 2) Пусть $D'$ — проекция точки $D$ на плоскость $\alpha$, а $C'$ — проекция точки $C$. Так как $BC \parallel \alpha$, то $CC' = DD' = h$. В $\triangle ACC'$ ($ \angle C' = 90^\circ$): $h = AC \cdot \sin 30^\circ = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см. 3) В $\triangle ADD'$ ($ \angle D' = 90^\circ$) по теореме Пифагора проекция $AD'$ равна: $AD' = \sqrt{AD^2 - DD'^2} = \sqrt{(6\sqrt{3})^2 - 6^2} = \sqrt{108 - 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ см. **Ответ: $6\sqrt{2}$ см.** 2. 1) В прямоугольном $\triangle ABC$ ($ \angle A = 90^\circ$) найдем гипотенузу $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ см. 2) Проведем высоту $AH$ к гипотенузе $BC$. $AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{3 \cdot 4}{5} = 2,4$ см. 3) По теореме о трех перпендикулярах $MH \perp BC$. Тогда $MH$ — искомое расстояние. Из $\triangle AMH$ ($ \angle A = 90^\circ$): $MH = \sqrt{AM^2 + AH^2} = \sqrt{1^2 + 2,4^2} = \sqrt{1 + 5,76} = \sqrt{6,76} = 2,6$ см. **Ответ: 2,6 см.** 3. 1) Пусть $O$ — центр $\triangle ABC$. $DO ∘ (ABC)$, значит $DO$ — высота пирамиды $DABC$. Угол между плоскостями $(ABC)$ и $(DBC)$ — это линейный угол $\angle DMO$, где $M$ — середина $BC$. 2) В правильном треугольнике $OM = \frac{1}{3} AM$, где $AM$ — высота. $AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, значит $OM = \frac{a\sqrt{3}}{6}$. 3) Т.к. $\triangle DBC$ правильный, его высота $DM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. 4) В $\triangle DOM$ ($ \angle O = 90^\circ$): $\cos \angle DMO = \frac{OM}{DM} = \frac{a\sqrt{3}/6}{a\sqrt{3}/2} = \frac{1}{3}$. $\angle DMO = \arccos \frac{1}{3}$. **Ответ: $\arccos \frac{1}{3}$.** 4. 1) Введем систему координат с началом в точке $C(0,0,0)$. $CD$ лежит на оси $OZ$, $CB$ на оси $OX$, $CK$ на оси $OY$. 2) Координаты точек: $C(0,0,0)$, $B(3,0,0)$, $D(0,0,4)$, $K(0,3,0)$. 3) Расстояние $BK = \sqrt{(0-3)^2 + (3-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ см. **Ответ: $3\sqrt{2}$ см.**