В треугольнике ABC AB = BC = 10 см, AC = 12 см. Через точку B к плоскости треугольника проведен перпендикуляр BD длиной 15 см.

**1. Решение задачи про треугольник:** **а) Проекция треугольника DAC на плоскость (ABC):** Так как $BD \perp (ABC)$, то проекцией точки $D$ на плоскость $(ABC)$ является точка $B$. Точки $A$ и $C$ уже лежат в плоскости $(ABC)$, поэтому они проецируются сами в себя. **Ответ:** $\triangle ABC$. **б) Расстояние от точки D до прямой AC:** 1. Проведем медиану и высоту $BH$ в равнобедренном $\triangle ABC$ ($AB=BC$). В равнобедренном треугольнике высота к основанию является и медианой, значит $AH = HC = 12 / 2 = 6$ см. 2. Из прямоугольного $\triangle ABH$ по теореме Пифагора: $BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8$ см. 3. По теореме о трех перпендикулярах, так как $BD \perp (ABC)$ и $BH \perp AC$, то наклонная $DH \perp AC$. Длина $DH$ и есть искомое расстояние. 4. Из прямоугольного $\triangle DBH$ ($BD=15$, $BH=8$): $DH = \sqrt{BD^2 + BH^2} = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17$ см. **Ответ:** 17 см. **2. Решение задачи про параллелепипед:** 1. Найдем диагональ основания $AC$: $AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{169} = 13$. 2. Угол между $A_1C$ и $(ABC)$ — это $\angle A_1CA$. Из прямоугольного $\triangle A_1AC$: $\cos(\angle A_1CA) = AC / A_1C = 13 / 15 \approx 0,8667$. Угол $\approx 30^•$. *Допущение: В условии дан ответ 55°33', что соответствует $\sin \alpha = 13/15$. Вероятно, в условии $A_1C$ это диагональ боковой грани или допущена опечатка в значениях.* 3. Угол между $A_1C$ и $(BB_1C_1)$ — это $\angle A_1CB_1$. $A_1B_1 = CD = 5$. $\sin(\angle A_1CB_1) = A_1B_1 / A_1C = 5 / 15 = 1/3$. $\arcsin(1/3) \approx 19,47^•$. **3. Доказательство про параллелограмм:** Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $AB \parallel CD$. Если две параллельные прямые пересекают плоскость $\alpha$, то углы между этими прямыми и плоскостью равны. Поскольку вершины $A$ и $D$ лежат в плоскости, а $AB \parallel CD$, то и углы их наклона к этой плоскости будут одинаковыми. Что и требовалось доказать.