114. Докажите тождество, используя вынесение общего множителя за скобки:

### Решение заданий **114. Докажите тождество:** 1) $(3a - 5b)(a^2 + 2ab - 4b^2) - (3a - 5b)(a^2 + 2ab - 7b^2) = 3b^2(3a - 5b)$ Вынесем общий множитель $(3a - 5b)$ за скобки: $(3a - 5b) \cdot ((a^2 + 2ab - 4b^2) - (a^2 + 2ab - 7b^2)) = (3a - 5b) \cdot (a^2 + 2ab - 4b^2 - a^2 - 2ab + 7b^2) = (3a - 5b) \cdot (3b^2) = 3b^2(3a - 5b)$. Тождество доказано. 2) $(2a - 1)(6b^2 + 3b - 8) + (1 - 2a)(6b^2 + 3b - 10) = 4a - 2$ Преобразуем второе слагаемое, вынеся минус: $(1 - 2a) = -(2a - 1)$. $(2a - 1)(6b^2 + 3b - 8) - (2a - 1)(6b^2 + 3b - 10) = (2a - 1) \cdot ((6b^2 + 3b - 8) - (6b^2 + 3b - 10)) = (2a - 1) \cdot (6b^2 + 3b - 8 - 6b^2 - 3b + 10) = (2a - 1) \cdot 2 = 4a - 2$. Тождество доказано. **115. Докажите, что значение выражения:** 1) $8^6 + 2^{15} = (2^3)^6 + 2^{15} = 2^{18} + 2^{15} = 2^{15} \cdot (2^3 + 1) = 2^{15} \cdot 9$. Делится на 9. 2) $14^4 - 7^4 = (2 \cdot 7)^4 - 7^4 = 2^4 \cdot 7^4 - 7^4 = 7^4 \cdot (2^4 - 1) = 7^4 \cdot (16 - 1) = 7^4 \cdot 15 = 7^4 \cdot 5 \cdot 3$. Делится на 5. 3) $9^5 - 3^8 = (3^2)^5 - 3^8 = 3^{10} - 3^8 = 3^8 \cdot (3^2 - 1) = 3^8 \cdot 8 = 3^7 \cdot 3 \cdot 8 = 3^7 \cdot 24$. Делится на 24. 4) $6^4 - 3^6 = (2 \cdot 3)^4 - 3^6 = 2^4 \cdot 3^4 - 3^6 = 3^4 \cdot (2^4 - 3^2) = 3^4 \cdot (16 - 9) = 3^4 \cdot 7$. Делится на 7. **116. Разложите на множители:** 1) $ab + ac + xb + xc = a(b+c) + x(b+c) = (a+x)(b+c)$ 2) $5a + 5b - am - bm = 5(a+b) - m(a+b) = (5-m)(a+b)$ 3) $6m - mn - 6 + n = m(6-n) - 1(6-n) = (m-1)(6-n)$ 4) $a^6 + a^4 - 3a^2 - 3 = a^4(a^2+1) - 3(a^2+1) = (a^4-3)(a^2+1)$ 5) $10ab - 2a + 5b^2 - b = 2a(5b-1) + b(5b-1) = (2a+b)(5b-1)$ 6) $2x^3 - 3x^2y - 4x + 6y = x^2(2x-3y) - 2(2x-3y) = (x^2-2)(2x-3y)$ 7) $x^2y - x + xy^2 - y = x(xy-1) + y(xy-1) = (x+y)(xy-1)$ 8) $am^2 - an - bm^2 + cn - cm^2 + bn = m^2(a-b-c) + n(b+c-a) = m^2(a-b-c) - n(a-b-c) = (m^2-n)(a-b-c)$ **117. Разложите и найдите значение:** 1) $12a^2 - 12ax - 7a + 7x = 12a(a-x) - 7(a-x) = (12a-7)(a-x)$. При $a = 1 \frac{1}{6} = \frac{7}{6}$, $x = \frac{2}{3} = \frac{4}{6}$: $(12 \cdot \frac{7}{6} - 7) \cdot (\frac{7}{6} - \frac{4}{6}) = (2 \cdot 7 - 7) \cdot \frac{3}{6} = 7 \cdot 0,5 = 3,5$. 2) $5x^3 - x^2 - 5x + 1 = x^2(5x-1) - 1(5x-1) = (x^2-1)(5x-1) = (x-1)(x+1)(5x-1)$. При $x = 0,2$: $(0,2-1)(0,2+1)(5 \cdot 0,2 - 1) = (-0,8)(1,2)(1-1) = 0$. **118. Найдите значение выражения:** 1) $32,4 \cdot 6,7 + 17,6 \cdot 8,3 - 32,4 \cdot 1,7 - 3,3 \cdot 17,6$ $= 32,4 \cdot (6,7 - 1,7) + 17,6 \cdot (8,3 - 3,3)$ $= 32,4 \cdot 5 + 17,6 \cdot 5 = 5 \cdot (32,4 + 17,6) = 5 \cdot 50 = 250$. 2) $4\frac{2}{7} \cdot 6\frac{2}{3} - 3,6 \cdot \frac{1}{3} + 4\frac{5}{7} \cdot 6\frac{2}{3} - \frac{1}{3} \cdot 5,4$ $= (4\frac{2}{7} + 4\frac{5}{7}) \cdot 6\frac{2}{3} - \frac{1}{3} \cdot (3,6 + 5,4)$ $= 9 \cdot \frac{20}{3} - \frac{1}{3} \cdot 9 = 3 \cdot 20 - 3 = 60 - 3 = 57$.