Зачёт по теме «Прямая и плоскость в пространстве». Вариант 2. К плоскости прямоугольного треугольника ABC проведены перпендикуляр MB и наклонные MA, MC.

1. 1) Т.к. $MB \perp (ABC)$, то $MB$ — перпендикуляр, а $MA$ — наклонная. Проекция $MA$ на плоскость $(ABC)$ — это отрезок $AB$. Угол между наклонной и плоскостью — это $\angle MAB$. Из $\triangle MBA$ ($\angle B = 90^\circ$): $\cos \angle MAB = \frac{AB}{MA}$. В $\triangle ABC$: $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$. $\cos \angle MAB = \frac{a\sqrt{2}}{2a} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \angle MAB = 45^\circ$. 2) Проекция $MC$ на $(ABC)$ — это отрезок $BC = a$. В $\triangle MBC$ ($\angle B = 90^\circ$): $MC = \sqrt{MB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$. 3) $BC \perp AC$ (по условию) и $BC$ — проекция $MC$. По теореме о трех перпендикулярах $MC \perp AC$. Значит, $\angle MCA = 90^\circ$, и $\triangle AMC$ — прямоугольный. 2. Т.к. точка $M$ равноудалена от вершин правильного $\triangle ABC$, ее проекция $O$ на плоскость треугольника является центром описанной окружности. $R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 8$ см. Из $\triangle MOA$ (где $MO = 6$ см, $OA = R = 8$ см): $MA = \sqrt{MO^2 + OA^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$ см. Ответ: 10 см. 3. 1) Проекцией стороны $DC$ на плоскость $\alpha$ будет отрезок $D_1C_1$, параллельный $AB$, так как $DC \parallel AB$ и $AB \subset \alpha$. 2) Расстояние между параллельными прямыми $AB$ и $D_1C_1$ равно проекции боковой стороны квадрата (например, $AD$) на плоскость $\alpha$. Пусть $D_1$ — проекция $D$. В $\triangle ADD_1$ ($\angle D_1 = 90^\circ$): $AD = 2a$, $DD_1 = a$ (расстояние от $DC$ до $\alpha$). Тогда $AD_1 = \sqrt{AD^2 - DD_1^2} = \sqrt{(2a)^2 - a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$. Ответ: $a\sqrt{3}$. 4. Т.к. точка $M$ равноудалена от сторон треугольника, ее проекция $O$ на плоскость — центр вписанной окружности. 1) Найдем высоту треугольника $h = \sqrt{10^2 - (12/2)^2} = \sqrt{100 - 36} = 8$ см. Площадь $S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48$ см$^2$. Полупериметр $p = \frac{10+10+12}{2} = 16$ см. Радиус вписанной окружности $r = \frac{S}{p} = \frac{48}{16} = 3$ см. Из прямоугольного треугольника с катетами $MO$ (искомое расстояние) и $r$, и гипотенузой 5 см: $MO = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$ см. 2) $S_{кр} = \pi r^2 = \pi \cdot 3^2 = 9\pi$ см$^2$. Ответ: 1) 4 см; 2) $9\pi$ см$^2$.