1. Через основание равнобедренного треугольника ABC проведена плоскость. Ортогональная проекция треугольника ABC на эту плоскость — равносторонний треугольник ABC₁. Найдите расстояние от вершины C до этой плоскости, если AB = 10 см, BC = AC = 13 см.

### Задача 1 1. Найдём высоту $h$ равнобедренного $\triangle ABC$, опущенную на основание $AB$. Так как треугольник равнобедренный ($AC=BC=13$), высота $CH$ является медианой, значит $AH = HB = 5$ см. $CH = \sqrt{AC^2 - AH^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = 12$ см. 2. Проекция $\triangle ABC$ на плоскость — равносторонний $\triangle ABC_1$ со стороной $AB = 10$ см. Найдём его высоту $C_1H$: $C_1H = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{10\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$ см. 3. Расстояние от вершины $C$ до плоскости — это отрезок $CC_1$. В прямоугольном $\triangle CHC_1$ (где $\angle CC_1H = 90^\circ$): $CC_1 = \sqrt{CH^2 - C_1H^2} = \sqrt{12^2 - (5\sqrt{3})^2} = \sqrt{144 - 75} = \sqrt{69}$ см. **Ответ:** $\sqrt{69}$ см. ### Задача 2 1. Рассмотрим прямоугольный $\triangle M_1MC$. Так как $MM_1 \perp \gamma$ и $M_1, C \in \gamma$, то $\angle MM_1C = 90^\circ$. По теореме Пифагора: $MC = \sqrt{MM_1^2 + M_1C^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ см. 2. По условию $MC = PC$, значит $PC = 5$ см. Также $\angle MCP = 90^\circ$. В прямоугольном равнобедренном $\triangle MCP$ гипотенуза: $MP = MC\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$ см. 3. Так как $MP \parallel \gamma$, а $MM_1$ и $PP_1$ — перпендикуляры к плоскости $\gamma$, то фигура $MM_1P_1P$ является прямоугольником. Следовательно, искомое расстояние $M_1P_1$ равно длине отрезка $MP$. $M_1P_1 = MP = 5\sqrt{2}$ см. **Ответ:** $5\sqrt{2}$ см.