В прямоугольных треугольниках ABC и MPH углы B и P прямые, AB = 3, BC = 4, MP = 6, PH = 8. Докажите, что треугольники подобны.

Фотография

Ответ ассистента

1. Чтобы доказать подобие прямоугольных треугольников $ABC$ и $MPH$ ($∠B = ∠P = 90^∘$), проверим пропорциональность их катетов: $\frac{AB}{MP} = \frac{3}{6} = 0,5$ $\frac{BC}{PH} = \frac{4}{8} = 0,5$ Так как $\frac{AB}{MP} = \frac{BC}{PH}$, треугольники подобны по двум катетам (или по двум пропорциональным сторонам и углу между ними). 2. В трапеции $ABCD$ треугольники $BOC$ и $AOD$ подобны по двум углам ($∠O$ — общий, $∠OBC = ∠OAD$ как соответственные при $BC \parallel AD$). Пусть $BC = 2$ см, $AD = 5$ см, $AO = 25$ см. Найдем $BO$: $\frac{BC}{AD} = \frac{BO}{AO} \Rightarrow \frac{2}{5} = \frac{BO}{25} \Rightarrow BO = \frac{2 \cdot 25}{5} = 10$ см. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия $k = \frac{BC}{AD} = \frac{2}{5}$: $\frac{S_{BOC}}{S_{AOD}} = k^2 = (\frac{2}{5})^2 = \frac{4}{25} = 0,16$. **Ответ: BO = 10 см; отношение площадей 4:25.** 3. Так как $MN \parallel AC$, треугольники $ABC$ и $MBN$ подобны по двум углам ($∠B$ — общий, $∠BMN = ∠BAC$ как соответственные). $AB = MB + AM = 14 + 2 = 16$ см. Коэффициент подобия $k = \frac{AB}{MB} = \frac{16}{14} = \frac{8}{7}$. Найдем $AC$: $\frac{AC}{MN} = k \Rightarrow \frac{AC}{28} = \frac{8}{7} \Rightarrow AC = \frac{28 \cdot 8}{7} = 4 \cdot 8 = 32$ см. Отношение площадей: $\frac{S_{ABC}}{S_{BMN}} = k^2 = (\frac{8}{7})^2 = \frac{64}{49}$. **Ответ: AC = 32 см; отношение площадей 64:49.**

Задать вопрос История вопросов

Другие решения

Что ещё задавали пользователи

В прямоугольных треугольниках ABC и MPH углы B и P прямые, AB = 3, BC = 4, MP = 6, PH = 8. Докажите, что треугольники подобны.

Ответ ассистента

Похожие задачи

Другие решения