К-3. ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ. Вариант А 1. 1. В одном равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 24, а в другом равнобедренном треугольнике угол при основании равен 78. Подобны ли эти треугольники? Почему?

Решим задачи из Варианта А1. **1. Ответ: Да, подобны.** **Решение:** 1) В первом равнобедренном треугольнике угол при вершине $\gamma_1 = 24^{\circ}$. Сумма углов треугольника $180^{\circ}$. Углы при основании равны: $(180^{\circ} - 24^{\circ}) : 2 = 156^{\circ} : 2 = 78^{\circ}$. Значит, углы треугольника: $24^{\circ}, 78^{\circ}, 78^{\circ}$. 2) Во втором треугольнике угол при основании $\alpha_2 = 78^{\circ}$. Так как он равнобедренный, второй угол при основании тоже $78^{\circ}$. Угол при вершине: $180^{\circ} - (78^{\circ} + 78^{\circ}) = 180^{\circ} - 156^{\circ} = 24^{\circ}$. 3) Углы треугольников равны ($24^{\circ}, 78^{\circ}, 78^{\circ}$), следовательно, они подобны по двум углам. **2. Ответ: 1 : 9.** **Решение:** 1) Проверим подобие треугольников по отношению сторон: $\frac{5}{15} = \frac{1}{3}$; $\frac{8}{24} = \frac{1}{3}$; $\frac{12}{36} = \frac{1}{3}$. Стороны пропорциональны, коэффициент подобия $k = \frac{1}{3}$. 2) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: $\frac{S_1}{S_2} = k^2 = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$. **3. Доказательство:** 1) Найдем длины отрезков $MB$ и $NB$: $MB = AB - AM = 24 - 9 = 15$ см. $NB = CB - BN = 16 - 10 = 6$ см. 2) Рассмотрим треугольники $MBN$ и $ABC$. У них угол $B$ — общий. 3) Проверим пропорциональность сторон, заключающих этот угол: $\frac{MB}{AB} = \frac{15}{24} = \frac{5}{8}$ $\frac{NB}{CB} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$ **Допущение:** В условии задачи или на чертеже вероятно опечатка в числах, так как $\frac{15}{24} \neq \frac{6}{16}$, и подобие не соблюдается. Однако, если бы отношения были равны, то $\triangle MBN \sim \triangle ABC$ по второму признаку. Тогда $\angle BMN = ∠ BAC$, и прямые $MN \parallel AC$ как соответственные при секущей $AB$.