1. Диагонали четырехугольника ABCD AC и BD пересекаются в точке O так, что OC = 5 см, OB = 6 см, OA = 15 см, OD = 18 см. Докажите, что в четырехугольнике ABCD BC || AD и найдите отношение треугольников AOD и BOC. 2. Перпендикулярно высоте BD треугольника ABC проведена прямая, пересекающая стороны AB и BC в точках M и P соответственно. Найдите AB и отношение площадей треугольников MPB и ABC, если известно, что BM = 7 см, BP = 9 см, PC = 18 см.

### Задача 1 **Дано:** $ABCD$ — четырёхугольник $AC \cap BD = O$ $OC = 5$ см, $OB = 6$ см $OA = 15$ см, $OD = 18$ см **Доказать:** $BC \parallel AD$ **Найти:** $S_{AOD} : S_{BOC}$ **Решение:** 1. Рассмотрим $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$: $\angle BOC = \angle DOA$ (как вертикальные). Проверим пропорциональность сторон, образующих эти углы: $\frac{OA}{OC} = \frac{15}{5} = 3$ $\frac{OD}{OB} = \frac{18}{6} = 3$ Так как $\frac{OA}{OC} = \frac{OD}{OB}$ и углы между ними равны, то $\triangle BOC \sim \triangle DOA$ по второму признаку подобия (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними). Коэффициент подобия $k = \frac{OA}{OC} = 3$. 2. Из подобия треугольников следует равенство соответственных углов: $\angle OCB = \angle OAD$. Эти углы являются накрест лежащими при прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$. Раз накрест лежащие углы равны, то $BC \parallel AD$, что и требовалось доказать. 3. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: $\frac{S_{AOD}}{S_{BOC}} = k^2 = 3^2 = 9$. **Ответ:** 9. --- ### Задача 2 **Дано:** $\triangle ABC$, $BD \perp AC$ (высота) $MP \perp BD$, $M \in AB, P \in BC$ $BM = 7$ см, $BP = 9$ см, $PC = 18$ см **Найти:** $AB$, $S_{MPB} : S_{ABC}$ **Решение:** 1. Так как $MP \perp BD$ и $AC \perp BD$, то прямые $MP$ и $AC$ параллельны (две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны друг другу). 2. Рассмотрим $\triangle MPB$ и $\triangle ABC$: $\angle B$ — общий, $\angle BMP = \angle BAC$ (как соответственные при $MP \parallel AC$ и секущей $AB$). Значит, $\triangle MPB \sim \triangle ABC$ по двум углам. 3. Найдем сторону $BC$: $BC = BP + PC = 9 + 18 = 27$ см. 4. Из подобия треугольников составим отношение сторон: $\frac{BM}{AB} = \frac{BP}{BC} \Rightarrow \frac{7}{AB} = \frac{9}{27} \Rightarrow \frac{7}{AB} = \frac{1}{3}$. Отсюда $AB = 7 \cdot 3 = 21$ см. 5. Коэффициент подобия $k = \frac{BP}{BC} = \frac{9}{27} = \frac{1}{3}$. Отношение площадей: $\frac{S_{MPB}}{S_{ABC}} = k^2 = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$. **Ответ:** $AB = 21$ см; $1:9$.