В треугольнике ABC угол ABC равен 120°, AB = BC, BM — медиана. На луче BM отметили точку F такую, что ∠BAF = 90°. Найдите BF, если FM = 36.

1. Рассмотрим $\triangle ABC$. Так как $AB = BC$, треугольник является равнобедренным. $BM$ — медиана, проведённая к основанию, значит, она также является биссектрисой и высотой. Следовательно, $\angle ABM = \angle ABC : 2 = 120^\circ : 2 = 60^\circ$ и $BM \perp AC$. 2. Рассмотрим прямоугольный $\triangle ABF$ (так как по условию $\angle BAF = 90^\circ$). В нём $\angle ABF = 60^\circ$, тогда второй острый угол $\angle AFB = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. 3. В прямоугольном $\triangle ABM$ угол $\angle BAM = 90^\circ - \angle ABM = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. Катет $BM$ лежит против угла в $30^\circ$, значит, $BM = \frac{1}{2} AB$, откуда $AB = 2BM$. 4. В прямоугольном $\triangle ABF$ катет $AB$ лежит против угла $\angle AFB = 30^\circ$, значит, $AB = \frac{1}{2} BF$, откуда $BF = 2AB$. 5. Подставим значение $AB$ из пункта 3 в уравнение из пункта 4: $BF = 2 \cdot (2BM) = 4BM$. 6. Отрезок $BF$ состоит из суммы отрезков $BM$ и $MF$: $BF = BM + MF$. Заменим $BM$ на $\frac{1}{4} BF$: $BF = \frac{1}{4} BF + 36$. 7. Решим уравнение: $\frac{3}{4} BF = 36 \Rightarrow BF = 36 \cdot 4 : 3 = 48$. **Ответ: 48**.