В прямоугольных треугольниках ABC и MPH углы B и P прямые, AB = 3, BC = 4, MP = 6, PH = 8. Докажите, что треугольники подобны.

1. В прямоугольных треугольниках $ABC$ ($∠B = 90^{\circ}$) и $MPH$ ($∠P = 90^{\circ}$): Найдем гипотенузу $AC$ по теореме Пифагора: $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$. Найдем гипотенузу $MH$ по теореме Пифагора: $MH = \sqrt{MP^2 + PH^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = 10$. Проверим пропорциональность сторон: $\frac{MP}{AB} = \frac{6}{3} = 2$; $\frac{PH}{BC} = \frac{8}{4} = 2$; $\frac{MH}{AC} = \frac{10}{5} = 2$. Так как стороны пропорциональны, $\triangle ABC \sim \triangle MPH$ по третьему признаку подобия (по трем сторонам). 2. Допущение: в условии опечатка, вместо «$B = 2см$» следует читать «$BC = 2см$». $\triangle BOC \sim \triangle AOD$ (по двум углам: $∠O$ — общий, $∠OBC = ∠OAD$ как соответственные при $BC \parallel AD$). Коэффициент подобия $k = \frac{BC}{AD} = \frac{2}{5} = 0,4$. $\frac{BO}{AO} = k \Rightarrow BO = AO \cdot k = 25 \cdot 0,4 = 10$ см. Отношение площадей: $\frac{S_{BOC}}{S_{AOD}} = k^2 = (0,4)^2 = 0,16$. Ответ: $BO = 10$ см, отношение площадей $0,16$. 3. Так как $MN \parallel AC$, то $\triangle ABC \sim \triangle MBN$ по двум углам ($∠B$ — общий, $∠BAC = ∠BMN$ как соответственные). Сторона $AB = MB + AM = 14 + 2 = 16$ см. Коэффициент подобия $k = \frac{AB}{MB} = \frac{16}{14} = \frac{8}{7}$. $AC = MH \cdot k = 28 \cdot \frac{8}{7} = 4 \cdot 8 = 32$ см. Отношение площадей: $\frac{S_{ABC}}{S_{BMN}} = k^2 = (\frac{8}{7})^2 = \frac{64}{49}$. Ответ: $AC = 32$ см, отношение площадей $\frac{64}{49}$.