В треугольнике ABC на стороне AC отметили произвольную точку M. В треугольнике ABM провели биссектрису MK. В треугольнике CBM построили высоту MP. Угол KMP равен 90, CM=12. Найдите BM.

Question

Вопрос:

В треугольнике ABC на стороне AC отметили произвольную точку M. В треугольнике ABM провели биссектрису MK. В треугольнике CBM построили высоту MP. Угол KMP равен 90, CM=12. Найдите BM.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

1. Рассмотрим развёрнутый угол $AMC$. Он равен $180^{\circ}$ и состоит из углов $\angle AMB$ и $\angle BMC$. 2. Пусть $\angle AMB = \alpha$ и $\angle BMC = \beta$. Тогда $\alpha + \beta = 180^{\circ}$. 3. Так как $MK$ — биссектриса $\angle AMB$, то $\angle KMB = \frac{\alpha}{2}$. 4. В треугольнике $CBM$ проведена высота $MP$. Она может лежать внутри угла $\angle BMC$ или вне его (на продолжении стороны $BC$). Однако по условию $\angle KMR = 90^{\circ}$. Это означает, что угол между биссектрисой одного смежного угла и прямой $MP$ в другом смежном угле — прямой. 5. Известно, что угол между биссектрисами смежных углов равен $90^{\circ}$. Если $\angle KMR = 90^{\circ}$, а $MK$ — биссектриса $\angle AMB$, то $MP$ должна быть биссектрисой $\angle BMC$. 6. В треугольнике $CBM$ отрезок $MP$ является одновременно и высотой, и биссектрисой. Это признак равнобедренного треугольника. 7. Следовательно, $\triangle CBM$ — равнобедренный с основанием $BC$, а значит, боковые стороны равны: $BM = CM$. 8. Так как по условию $CM = 12$, то $BM = 12$. **Ответ: 12**.

Ответ ассистента

Другие решения