В треугольнике ABC на стороне AC отметили произвольную точку M. В треугольнике ABM провели биссектрису MK. В треугольнике CBM построили высоту MP. Угол KMP равен 90°, CM = 12. Найдите BM.

Question

Вопрос:

В треугольнике ABC на стороне AC отметили произвольную точку M. В треугольнике ABM провели биссектрису MK. В треугольнике CBM построили высоту MP. Угол KMP равен 90°, CM = 12. Найдите BM.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

1. Рассмотрим развёрнутый угол $AMC$. Он равен $180^{\circ}$ и состоит из углов $AMB$ и $BMC$: $\angle AMB + \angle BMC = 180^{\circ}$. 2. По условию $MK$ — биссектриса $\angle AMB$, значит $\angle KMB = \frac{1}{2} \angle AMB$. 3. Рассмотрим $\angle KMP$. По условию он равен $90^{\circ}$. Заметим, что $\angle KMP = \angle KMB + \angle BMP$. 4. Подставим значение из пункта 2: $\frac{1}{2} \angle AMB + \angle BMP = 90^{\circ}$. Умножим всё на 2: $\angle AMB + 2\angle BMP = 180^{\circ}$. 5. Сравним это с равенством из пункта 1: $\angle AMB + \angle BMC = 180^{\circ}$. Отсюда следует, что $\angle BMC = 2\angle BMP$. 6. Так как $\angle BMC = \angle BMP + \angle PMC$, то $\angle BMP + \angle PMC = 2\angle BMP$. Значит, $\angle BMP = \angle PMC$. 7. Это означает, что $MP$ является не только высотой (по условию), но и биссектрисой в треугольнике $CBM$. 8. Если в треугольнике высота совпадает с биссектрисой, то такой треугольник равнобедренный ($BM = CM$). 9. Так как $CM = 12$, то $BM = 12$. **Ответ: 12**.

Ответ ассистента

Другие решения