13.24. Точка D равноудалена от вершин равностороннего треугольника ABC. Найдите угол между плоскостями ABC и ABD, если AB = 12 см, а точка D удалена от плоскости ABC на 2 см.

Фотография

Ответ ассистента

13.24. Пусть $ABC$ — равносторонний треугольник со стороной $a = 12$ см. Точка $D$ равноудалена от его вершин, значит, её проекция $O$ на плоскость $(ABC)$ является центром описанной окружности треугольника $ABC$. В равностороннем треугольнике центр описанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан, высот и биссектрис. 1. Найдём высоту $h$ треугольника $ABC$: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см. 2. Точка $O$ делит высоту в отношении $2:1$, считая от вершины. Пусть $M$ — середина стороны $AB$. Тогда $OM = \frac{1}{3}h = \frac{1}{3} \cdot 6\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ см. 3. Отрезок $DM$ — апофема (или наклонная), $DO$ — перпендикуляр к плоскости ($DO = 2$ см по условию), $OM$ — проекция $DM$ на плоскость $(ABC)$. Так как $OM \perp AB$ (как часть высоты), то по теореме о трёх перпендикулярах $DM \perp AB$. Следовательно, $\angle DMO$ — линейный угол двугранного угла между плоскостями $ABC$ и $ABD$. 4. В прямоугольном $\triangle DOM$ ($\angle DOM = 90^{\circ}$): $\text{tg} \angle DMO = \frac{DO}{OM} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. $\angle DMO = \text{arctg} \frac{1}{\sqrt{3}} = 30^{\circ}$. Ответ: 30°.

Задать вопрос История вопросов

Другие решения

Что ещё задавали пользователи

13.24. Точка D равноудалена от вершин равностороннего треугольника ABC. Найдите угол между плоскостями ABC и ABD, если AB = 12 см, а точка D удалена от плоскости ABC на 2 см.

Ответ ассистента

Похожие задачи

Другие решения