Через вершину B правильного треугольника ABC со стороной 6 см проведена прямая MB, перпендикулярная плоскости треугольника. Расстояние от точки M до прямой AC равно 2√13 см. Найдите расстояние от точки M до плоскости ABC.

### Решение задачи 2 **Дано:** $\triangle ABC$ — правильный, $AB = BC = AC = 6$ см. $MB \perp (ABC)$. Расстояние от $M$ до $AC$ равно $2\sqrt{13}$ см. **Найти:** $MB$ (расстояние от $M$ до плоскости $ABC$). **Решение:** 1. Пусть $BH$ — высота $\triangle ABC$. Так как треугольник правильный, $BH = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см. 2. По теореме о трёх перпендикулярах: так как $MB \perp (ABC)$ и $BH \perp AC$, то наклонная $MH \perp AC$. Значит, расстояние от $M$ до $AC$ — это отрезок $MH = 2\sqrt{13}$ см. 3. Рассмотрим прямоугольный $\triangle MBH$ ($\angle B = 90^\circ$): $MB^2 = MH^2 - BH^2 = (2\sqrt{13})^2 - (3\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 13 - 9 \cdot 3 = 52 - 27 = 25$. $MB = \sqrt{25} = 5$ см. **Ответ: 5 см.** ### Решение задачи 3 **Дано:** $\triangle ABC$, $\angle C = 90^\circ$, $AC = 10\sqrt{2}$ см, $BC = 2\sqrt{14}$ см. $DA = DB = DC = 17$ см. **Найти:** расстояние от $D$ до $(ABC)$. **Решение:** 1. Если точка $D$ равноудалена от вершин треугольника, то её проекция на плоскость — центр описанной окружности $O$. В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы $AB$. Искомое расстояние — катет $DO$. 2. Найдём гипотенузу $AB$: $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{(10\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{14})^2} = \sqrt{200 + 56} = \sqrt{256} = 16$ см. 3. Радиус описанной окружности $R = OA = \frac{AB}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см. 4. Из прямоугольного $\triangle DOA$ ($\angle O = 90^\circ$): $DO = \sqrt{DA^2 - OA^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$ см. **Ответ: 15 см.**