Найти $AC$ в треугольнике $ABC$, если угол $B$ равен $120^\circ$, прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $ABC$, $AD = 5$ см, $CD = 2\sqrt{5}$ см, $BD = 4$ см.

1. Чтобы найти $AC$, воспользуемся теоремой косинусов для треугольника $ABC$. Но сначала нужно найти стороны $AB$ и $BC$. Так как прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $ABC$, то $BD$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, проходящей через $B$. Значит, $BD \perp AB$ и $BD \perp BC$. Тогда треугольники $ABD$ и $CBD$ — прямоугольные. Из прямоугольного треугольника $ABD$ по теореме Пифагора: $AD^2 = AB^2 + BD^2$ $5^2 = AB^2 + 4^2$ $25 = AB^2 + 16$ $AB^2 = 25 - 16 = 9$ $AB = 3$ см Из прямоугольного треугольника $CBD$ по теореме Пифагора: $CD^2 = BC^2 + BD^2$ $(2\sqrt{5})^2 = BC^2 + 4^2$ $4 \cdot 5 = BC^2 + 16$ $20 = BC^2 + 16$ $BC^2 = 20 - 16 = 4$ $BC = 2$ см Теперь, в треугольнике $ABC$ известны две стороны $AB=3$ см, $BC=2$ см и угол между ними $\angle B = 120^\circ$. Используем теорему косинусов: $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B)$ $AC^2 = 3^2 + 2^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \cos(120^\circ)$ Зная, что $\cos(120^\circ) = -\cos(180^\circ - 120^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2}$, подставляем это значение: $AC^2 = 9 + 4 - 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot (-\frac{1}{2})$ $AC^2 = 13 - (-6)$ $AC^2 = 13 + 6 = 19$ $AC = \sqrt{19}$ см **Ответ:** 3) $\sqrt{19}$ см 2. Обозначим точку пересечения диагоналей ромба $ABCD$ как $O$. Нам нужно найти расстояние $KO$. Так как $BK$ перпендикуляр к плоскости ромба $ABCD$, то $BK \perp BO$. Следовательно, треугольник $KBO$ — прямоугольный, и мы можем найти $KO$ по теореме Пифагора, если знаем $BK$ и $BO$. $BK = 13$ см дано. В ромбе все стороны равны, $AB = BC = CD = DA = 6$ см. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Также диагонали являются биссектрисами углов ромба. Угол $\angle ADC = 60^\circ$. Так как $AD || BC$, то $\angle DAB + \angle ADC = 180^\circ$, откуда $\angle DAB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Аналогично, $\angle ABC = 60^\circ$. Рассмотрим треугольник $ABC$. Это равнобедренный треугольник со сторонами $AB=BC=6$ см и углом $\angle ABC = 60^\circ$. Следовательно, это равносторонний треугольник, и $AC = 6$ см. В ромбе диагональ $AC$ равна 6 см. Диагональ $BD$ можно найти, например, из треугольника $BCD$, где $BC=CD=6$ см и $\angle BCD = 120^\circ$. По теореме косинусов: $BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(120^\circ)$ $BD^2 = 6^2 + 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot (-\frac{1}{2})$ $BD^2 = 36 + 36 - 72 \cdot (-\frac{1}{2})$ $BD^2 = 72 + 36 = 108$ $BD = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$ см. Точка $O$ делит диагональ $BD$ пополам, значит $BO = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$ см. Теперь у нас есть прямоугольный треугольник $KBO$ с катетами $BK = 13$ см и $BO = 3\sqrt{3}$ см. Найдем гипотенузу $KO$ по теореме Пифагора: $KO^2 = BK^2 + BO^2$ $KO^2 = 13^2 + (3\sqrt{3})^2$ $KO^2 = 169 + (9 \cdot 3)$ $KO^2 = 169 + 27$ $KO^2 = 196$ $KO = \sqrt{196} = 14$ см **Ответ:** 3) 14 см