Точка $D$ равноудалена от вершин прямоугольного треугольника $ABC (\angle ACB = 90^\circ)$, $AC = BC = 2$ см, а точка $D$ удалена от плоскости $ABC$ на $\sqrt{3}$ см. Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $ACD$.

3.23. Если точка $D$ равноудалена от вершин прямоугольного треугольника $ABC$, то проекция этой точки на плоскость треугольника $ABC$ совпадает с центром описанной окружности. Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности — это середина гипотенузы $AB$. Обозначим середину гипотенузы $AB$ как точку $M$. Дано: $AC = BC = 2$ см. Треугольник $ABC$ — равнобедренный прямоугольный треугольник. Гипотенуза $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ см. $M$ — середина $AB$, значит $AM = BM = CM = \frac{1}{2} AB = \sqrt{2}$ см. (Так как $M$ — центр описанной окружности, $CM$ — радиус). Высота от точки $D$ до плоскости $ABC$ — это отрезок $DM$. Длина $DM = \sqrt{3}$ см. Нам нужно найти угол между плоскостями $ABC$ и $ACD$. Линия пересечения этих плоскостей — прямая $AC$. Построим перпендикуляр из точки $M$ на $AC$. Пусть это будет точка $K$. Так как $M$ — середина $AB$, а треугольник $ABC$ равнобедренный, то $MK$ будет параллельна $BC$ и $MK = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$ см. Также $MK \perp AC$. Угол между плоскостями $ABC$ и $ACD$ — это угол между перпендикулярами, проведенными в этих плоскостях к линии пересечения $AC$ из одной точки. В плоскости $ABC$ это $MK$. В плоскости $ACD$ это $DK$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $DMK$. Угол $\angle DKM$ — это искомый угол между плоскостями. $DM = \sqrt{3}$ см $MK = 1$ см Тогда $\tan(\angle DKM) = \frac{DM}{MK} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$. Значит, $\angle DKM = 60^\circ$. **Ответ:** $60^\circ$ 3.24. **Недостаточно данных для решения**, не указано расстояние от точки $D$ до плоскости $ABC$.