10 класс. Контрольная работа № 3 по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей». 1. Длина стороны ромба ABCD равна 5 см, длина диагонали BD равна 6 см. Через точку О пересечения диагоналей ромба проведена прямая ОК, перпендикулярная его плоскости. Найдите расстояние от точки К до вершин ромба, если ОК = 8 см. 2. Длина катета прямоугольного равнобедренного треугольника равна 4 см. Плоскость α, проходящая через катет, образует с плоскостью треугольника угол, величина которого равна 30°. Найдите длину проекции гипотенузы на плоскость α.

10 класс. Контрольная работа № 3 по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей». **1. Решение:** 1. В ромбе $ABCD$ диагонали взаимно перпендикулярны и точкой пересечения $O$ делятся пополам. Следовательно, $BO = OD = BD : 2 = 6 : 2 = 3$ см. 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOB$ (где $\angle AOB = 90^\circ$). По теореме Пифагора: $AO^2 + BO^2 = AB^2$, откуда $AO = \sqrt{AB^2 - BO^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ см. Так как $O$ — середина диагонали $AC$, то $AO = OC = 4$ см. 3. Отрезок $OK$ перпендикулярен плоскости ромба, значит он перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, проходящей через $O$. То есть $\triangle KOB$ и $\triangle KOA$ — прямоугольные. 4. Найдем расстояния до вершин: - До $B$ и $D$: $KB = KD = \sqrt{OK^2 + BO^2} = \sqrt{8^2 + 3^2} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73}$ см. - До $A$ и $C$: $KA = KC = \sqrt{OK^2 + AO^2} = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$ см. **Ответ:** $\sqrt{73}$ см, $\sqrt{73}$ см, $4\sqrt{5}$ см, $4\sqrt{5}$ см. **2. Решение:** 1. Пусть катет $a = 4$ см, угол между этим катетом и плоскостью $\alpha$ равен $30^\circ$. 2. Проекция катета на плоскость $\alpha$ равна $a \cdot \cos 30^\circ = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см. 3. Так как плоскость проходит через другой катет, этот катет сам является своей проекцией на плоскость $\alpha$. Обозначим его $b$. 4. В прямоугольном треугольнике гипотенуза $c = \sqrt{a^2 + b^2}$. Проекция гипотенузы на плоскость — это отрезок, соединяющий проекции её концов. В нашем случае это гипотенуза треугольника, образованного проекциями катетов. 5. Длина проекции гипотенузы $c'$ вычисляется по теореме Пифагора для проекций катетов: $c' = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + b^2} = \sqrt{12 + b^2}$. **Допущение:** В условии не указана длина второго катета или тип прямоугольного треугольника (например, равнобедренный). Если предположить, что треугольник **равнобедренный** (как часто бывает в таких задачах, несмотря на опечатку в тексте «прямоугольного равнобедренного»), то $b = a = 4$ см. 6. Тогда $c' = \sqrt{12 + 4^2} = \sqrt{12 + 16} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$ см. **Ответ:** $2\sqrt{7}$ см (при условии, что треугольник равнобедренный).