1. Длина стороны ромба ABCD равна 5 см, длина диагонали BD равна 6 см. Через точку O пересечения диагоналей ромба проведена прямая OK, перпендикулярная его плоскости. Найдите расстояние от точки K до вершин ромба, если OK = 8 см.

**1. Задача про ромб и перпендикуляр** **Ответ: $KA = KC = ????\sqrt{80} = 4\sqrt{5}$ см; $KB = KD = ????\sqrt{73}$ см.** **Решение:** 1. Диагонали ромба $ABCD$ точкой пересечения $O$ делятся пополам и взаимно перпендикулярны ($AC \perp BD$). $BO = OD = BD : 2 = 6 : 2 = 3$ см. 2. Из прямоугольного $\triangle ABO$ (по теореме Пифагора): $AO^2 = AB^2 - BO^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16 \Rightarrow AO = 4$ см. Следовательно, $OC = AO = 4$ см. 3. Так как $OK \perp (ABC)$, то $OK$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости ($OK \perp AC$, $OK \perp BD$). 4. Из прямоугольного $\triangle KOB$ (по теореме Пифагора): $KB = \sqrt{OK^2 + BO^2} = \sqrt{8^2 + 3^2} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73}$ см. Т.к. $BO = OD$, то $KB = KD = \sqrt{73}$ см. 5. Из прямоугольного $\triangle KOA$ (по теореме Пифагора): $KA = \sqrt{OK^2 + AO^2} = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$ см. Т.к. $AO = OC$, то $KA = KC = 4\sqrt{5}$ см. **2. Задача про проекцию гипотенузы** **Ответ: $2\sqrt{3}$ см.** **Решение:** 1. Пусть $\triangle ABC$ — прямоугольный равнобедренный ($C = 90^{\circ}$), катеты $AC = BC = 4$ см. Плоскость $\alpha$ проходит через катет $AC$. 2. Гипотенуза $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2}$ см. 3. Пусть $BH \perp \alpha$. Угол между плоскостью треугольника и $\alpha$ — это угол $BCH = 30^{\circ}$ (так как $BC \perp AC$ и $HC \perp AC$). 4. Из $\triangle BCH$ ($H = 90^{\circ}$): $BH = BC \cdot \sin 30^{\circ} = 4 \cdot 0,5 = 2$ см. $CH = BC \cdot \cos 30^{\circ} = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см. 5. Проекция гипотенузы $AB$ на плоскость $\alpha$ — это отрезок $AH$. В прямоугольном $\triangle ACH$ (где $\angle C = 90^{\circ}$, так как $AC$ перпендикулярен плоскости, в которой лежат $BH$ и $CH$): $AH = \sqrt{AC^2 + CH^2} = \sqrt{4^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 + 12} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$ см. **Допущение:** В условии 2 требуется найти именно проекцию гипотенузы $AH$. Если же под «проекцией» подразумевается расстояние от концов гипотенузы до плоскости или проекция на прямую, содержащую катет, ответ может меняться. Согласно стандартной школьной программе, ищется длина отрезка $AH$.