Через вершину С ромба ABCD проведена прямая MC, перпендикулярная сторонам ромба BC и CD. Точка O — точка пересечения диагоналей ромба. а) Докажите перпендикулярность прямой BD и плоскости MOC. б) Докажите перпендикулярность плоскостей MBD и MOC. в) Найдите площадь ромба, если MB = 10 см, MO = 8 см, BD : AC = 2 : 3.

Выполню задание 1 из раздела «В классе». **Ответ: в) 96.** **Решение:** **а) Доказать перпендикулярность прямой $BD$ и плоскости $MOC$.** 1. По условию $ABCD$ — ромб, значит, его диагонали перпендикулярны: $BD \perp AC$. Точка $O$ — точка пересечения диагоналей. 2. Прямая $MC \perp BC$ и $MC \perp CD$ по условию. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна самой плоскости. Значит, $MC \perp (ABCD)$. 3. Так как $MC \perp (ABCD)$, то прямая $MC$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, следовательно, $MC \perp BD$. 4. Получаем, что прямая $BD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости $MOC$: $BD \perp AC$ и $BD \perp MC$. Следовательно, $BD \perp MOC$. **б) Доказать перпендикулярность плоскостей $MBD$ и $MOC$.** 1. В пункте (а) доказано, что $BD \perp MOC$. 2. Прямая $BD$ лежит в плоскости $MBD$. 3. По признаку перпендикулярности плоскостей: если одна из плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. Значит, $(MBD) \perp (MOC)$. **в) Найдите площадь ромба, если $MB = 10$ см, $MO = 8$ см, $BD : AC = 2 : 3$.** 1. Рассмотрим $\triangle MOC$. Так как $MC \perp (ABCD)$, то $\angle MCO = 90^{\circ}$ (треугольник прямоугольный). 2. Рассмотрим $\triangle MCO$ и $\triangle MCB$. Они прямоугольные и имеют общий катет $MC$. 3. Найдём $CO$ из $\triangle MOC$ по теореме Пифагора: $CO = \sqrt{MO^2 - MC^2}$. Найдём $BC$ из $\triangle MCB$ по теореме Пифагора: $BC = \sqrt{MB^2 - MC^2}$. 4. В ромбе $\triangle BOC$ прямоугольный ($\angle BOC = 90^{\circ}$). По теореме Пифагора: $BC^2 = BO^2 + CO^2$. Подставим значения: $MB^2 - MC^2 = BO^2 + MO^2 - MC^2$ $MB^2 = BO^2 + MO^2$ $10^2 = BO^2 + 8^2$ $100 = BO^2 + 64$ $BO^2 = 36 \Rightarrow BO = 6$ см. 5. Так как диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, то $BD = 2 \cdot BO = 2 \cdot 6 = 12$ см. 6. Из пропорции $BD : AC = 2 : 3$ найдем $AC$: $12 : AC = 2 : 3$ $2 \cdot AC = 36$ $AC = 18$ см. 7. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: $S = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16$ (проверка пропорции: если $BD=12$, то часть равна 6, значит $AC = 3 \cdot 6 = 18$). $S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 96$ см$^2$. *Допущение: в условии $BD:AC=2:3$, расчет произведен исходя из этого отношения.*