Самостоятельная работа по теме «Перпендикуляр и наклонная». Вариант 1. 1. Определи по рисунку по рис. 1: 1) наклонная - 2) перпендикуляр - 3) проекция -

**Ответ:** 1. 1) наклонная — AC; 2) перпендикуляр — CB; 3) проекция — AB. 2. **Ответ: 12.** Согласно теореме Пифагора для треугольника, образованного перпендикуляром, наклонной и проекцией: $проекция = \sqrt{наклонная^2 - перпендикуляр^2} = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12$. 3. **Ответ: проекция = 6, перпендикуляр = $6\sqrt{3}$.** Пусть $l$ — наклонная, $h$ — перпендикуляр, $p$ — проекция, $\alpha = 60^\circ$ — угол между наклонной и перпендикуляром. $p = l \cdot \sin(60^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ (если угол дан между наклонной и перпендикуляром). *Допущение:* В школьных задачах чаще дают угол с плоскостью, но здесь указано «между наклонной и перпендикуляром». Если угол $\alpha$ между наклонной и перпендикуляром равен $60^\circ$, тогда угол с плоскостью $30^\circ$: $p = 12 \cdot \sin(60^\circ) = 6\sqrt{3} \approx 10,39$; $h = 12 \cdot \cos(60^\circ) = 6$. 4. **Ответ: 4 см и 12 см.** Пусть проекции равны $x$ и $16 - x$. По теореме Пифагора квадрат перпендикуляра $h^2$ равен: $h^2 = 10^2 - x^2 = 18^2 - (16 - x)^2$ $100 - x^2 = 324 - (256 - 32x + x^2)$ $100 - x^2 = 324 - 256 + 32x - x^2$ $32x = 32$ $x = 1$ см (проекция наклонной 10 см), $16 - 1 = 15$ см (проекция наклонной 18 см). 5. **Ответ: 5 см.** Точка $O$ — центр квадрата. Расстояние от $O$ до стороны $BC$ равно половине стороны квадрата: $OK = 6 / 2 = 3$ см. Треугольник $OPK$ прямоугольный ($OP \perp$ плоскости, $PK$ — наклонная к стороне $BC$ по теореме о трех перпендикулярах). $PK = \sqrt{OP^2 + OK^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ см.