1. Длина стороны ромба ABCD равна 5 см, длина диагонали BD равна 6 см. Через точку O пересечения диагоналей ромба проведена прямая OK, перпендикулярная его плоскости. Найдите расстояние от точки K до вершин ромба, если OK= 8 см.

1. **Ответ: $\sqrt{73}$ см** **Решение:** 1) Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой $O$ пополам. Следовательно, в треугольнике $ABO$ (где $\angle O = 90^{\circ}$): $BO = BD : 2 = 6 : 2 = 3$ см. 2) По теореме Пифагора из $\triangle ABO$ найдем $AO$: $AO^2 = AB^2 - BO^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$, значит $AO = 4$ см. 3) Так как $OK \perp (ABC)$, то треугольники $AOK$ и $BOK$ — прямоугольные. 4) Расстояние от $K$ до вершин $B$ и $D$: $KB = \sqrt{OK^2 + BO^2} = \sqrt{8^2 + 3^2} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73}$ см. 5) Расстояние от $K$ до вершин $A$ и $C$: $KA = \sqrt{OK^2 + AO^2} = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$ см. 2. **Ответ: $2\sqrt{3}$ см** **Решение:** 1) Пусть $\triangle ABC$ — прямоугольный ($ \angle C = 90^{\circ}$) и равнобедренный ($AC = BC = 4$ см). Катет $AC$ лежит в плоскости $\alpha$. 2) Опустим перпендикуляр $BH$ из вершины $B$ на плоскость $\alpha$. Тогда $CH$ — проекция катета $BC$ на плоскость $\alpha$. Так как $BC \perp AC$, то по теореме о трех перпендикулярах $CH \perp AC$. 3) $\angle BCH = 30^{\circ}$ — угол между плоскостью треугольника и плоскостью $\alpha$. Из $\triangle BCH$: $CH = BC \cdot \cos 30^{\circ} = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см. 4) Проекцией гипотенузы $AB$ на плоскость $\alpha$ является отрезок $AH$. В прямоугольном $\triangle ACH$ (где $\angle C = 90^{\circ}$): $AH = \sqrt{AC^2 + CH^2} = \sqrt{4^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 + 12} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$ см. **Допущение:** В задаче 2 под «проекцией гипотенузы» обычно понимается её длина на плоскость $\alpha$. Если же требовалось найти проекцию высоты на гипотенузу, уточните условие.