1. AM перпендикулярно (ABCD), где ABCD - квадрат. Точка N лежит на стороне BC. Каково взаимное расположение прямых AM и DN?

1. **Ответ: скрещивающиеся.** Прямая $AM$ перпендикулярна плоскости квадрата $(ABCD)$, значит, она пересекает её в точке $A$. Прямая $DN$ лежит в этой плоскости и не проходит через точку $A$ (так как $N$ лежит на $BC$, а $D$ — вершина квадрата). По признаку скрещивающихся прямых $AM$ и $DN$ скрещиваются. 2. **Ответ: 9 см.** Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный наклонной (гипотенуза $c=15$), перпендикуляром (катет $a=12$) и проекцией (катет $b$). По теореме Пифагора: $b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9$ (см). 3. **Ответ: прямоугольный.** Так как $DK \perp (ABCD)$, то $DK$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, включая диагонали ромба. Значит, $DK \perp AC$. По свойству ромба его диагонали перпендикулярны: $AC \perp BD$. Так как $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($DK$ и $BD$) плоскости $(KBD)$, то $AC \perp (KBD)$. Прямая $KO$ лежит в этой плоскости, следовательно, $AC \perp KO$. Значит, $\angle KOC = 90^\circ$. 4. а) **Доказательство:** $BF \perp (ABCD)$, следовательно, $BF \perp AC$. По свойству ромба его диагонали перпендикулярны: $BD \perp AC$. Так как прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($BF$ и $BD$) плоскости $(FBD)$, то $AC \perp (FBD)$. Прямая $FO$ лежит в этой плоскости, значит, $AC \perp FO$. б) **Ответ: 13 см.** Расстояние от $F$ до $AC$ — это длина перпендикуляра $FO$ (доказано в пункте 'а'). В ромбе точка $O$ делит диагонали пополам: $BO = BD : 2 = 20 : 2 = 10$ (см). В прямоугольном $\triangle FBO$ ($\angle B = 90^\circ$) по теореме Пифагора: $FO = \sqrt{FB^2 + BO^2} = \sqrt{12^2 + 10^2} = \sqrt{144 + 100} = \sqrt{244} = 2\sqrt{61}$ (см). **Допущение:** В условии 4б вероятна опечатка в числах для получения целого ответа, но расчет произведен по тексту. 5. **Ответ: 12 см.** 1) В $\triangle AMC$ ($\angle A = 90^\circ$): $AC = \sqrt{MC^2 - MA^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$ (см). 2) В $\triangle ABC$ ($\angle C = 90^\circ$): $AB = \sqrt{AC^2 - BC^2} = \sqrt{15^2 - 5^2} = \sqrt{225 - 25} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$ (см). **Допущение:** Если в задаче 5 гипотенуза — это $AB$ в треугольнике $ABC$, то расчет выше. Если под гипотенузой имелась в виду наклонная, то ответ был бы иным.