Вариант 1. 1. Длина стороны ромба ABCD равна 5 см, длина диагонали ромба BD равна 6 см. Через точку O пересечения диагоналей ромба проведена прямая OK, перпендикулярная его плоскости. Найдите расстояние от точки K до вершин ромба, если OK = 8 см.

Вариант 1 1. **Ответ: $\sqrt{73}$ см** Решение: 1) Диагонали ромба точкой пересечения $O$ делятся пополам. Значит, $BO = BD : 2 = 6 : 2 = 3$ см. 2) Рассмотрим прямоугольный $\triangle ABO$ (диагонали ромба перпендикулярны). По теореме Пифагора найдем $AO$: $AO = \sqrt{AB^2 - BO^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ см. 3) Так как $OK \perp (ABCD)$, то $\triangle AOK$ — прямоугольный ($\angle AOK = 90^\circ$). Расстояние от точки $K$ до вершин ромба $A$ и $C$ одинаково (так как $AO = OC$). По теореме Пифагора для $\triangle AOK$: $AK = \sqrt{AO^2 + OK^2} = \sqrt{4^2 + 8^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$ см. 4) Расстояние до вершин $B$ и $D$ также одинаково ($BO = OD$). Для $\triangle BOK$: $BK = \sqrt{BO^2 + OK^2} = \sqrt{3^2 + 8^2} = \sqrt{9 + 64} = \sqrt{73}$ см. 2. **Ответ: $2\sqrt{3}$ см** Решение: 1) Гипотенуза $c = \sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2}$ см. 2) Проекция катета, лежащего в плоскости $\alpha$, равна самому катету (4 см). Проекция второго катета на плоскость $\alpha$ равна $4 \cdot \cos 30^\circ = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см. 3) Так как проекции катетов образуют прямоугольный треугольник (проекция прямого угла на плоскость, содержащую одну из его сторон), то проекция гипотенузы $l = \sqrt{4^2 + (2\sqrt{3})^2}$ — неверно, проекция гипотенузы соединяет концы проекций катетов. Угол между катетом в плоскости и проекцией другого катета остается $90^\circ$. $l = \sqrt{4^2 \cdot \cos^2 30^\circ + 0^2}$ — нет. *Исправленное решение:* Проекция гипотенузы на плоскость $\alpha$ есть отрезок, соединяющий вершину острого угла (лежащую в плоскости) и проекцию другой вершины гипотенузы. Пусть катет $AC$ лежит в плоскости, $\angle C = 90^\circ$. Проекция вершины $B$ есть $B'$, тогда $CB' = BC \cdot \cos 30^\circ = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$. Проекция гипотенузы $AB'$ в $\triangle AB'C$ (где $\angle ACB' = 90^\circ$ по теореме о трех перпендикулярах): $AB' = \sqrt{AC^2 + CB'^2} = \sqrt{4^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 + 12} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$ см. Вариант 2 1. **Ответ: 13 см** Решение: 1) Диагональ прямоугольника $d = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = 10$ см. 2) Половина диагонали $AO = 10 : 2 = 5$ см. 3) Из прямоугольного $\triangle AOK$: $AK = \sqrt{AO^2 + OK^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ см. Расстояние до всех вершин одинаково. 2. **Ответ: 6 см** Решение: 1) Найдем высоту $h_b$ треугольника $ABC$, опущенную из вершины $B$ на сторону $AC$. По формуле Герона: $p = (13+15+4)/2 = 16$. $S = \sqrt{16 \cdot (16-13) \cdot (16-15) \cdot (16-4)} = \sqrt{16 \cdot 3 \cdot 1 \cdot 12} = \sqrt{576} = 24$ см$^2$. 2) $h_b = 2S / AC = (2 \cdot 24) / 4 = 12$ см. 3) Искомое расстояние $d$ — это катет в прямоугольном треугольнике, где гипотенуза — высота $h_b$, а угол против $d$ равен $30^\circ$. $d = h_b \cdot \sin 30^\circ = 12 \cdot 0,5 = 6$ см.