Контрольная работа по теме «Параллельные прямые. Сумма углов треугольника». Вариант 1. 1. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 52°. Найдите углы при основании этого треугольника.

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма углов треугольника составляет $180^{\circ}$. $(180^{\circ} - 52^{\circ}) : 2 = 128^{\circ} : 2 = 64^{\circ}$. **Ответ:** $64^{\circ}, 64^{\circ}$. 2. На рис. 50 прямые $AB$ и $CD$ параллельны, так как накрест лежащие углы при секущей $MK$ равны ($43^{\circ} = 43^{\circ}$). Угол $DCE$ и угол при вершине $C$ являются смежными или соответственными в зависимости от построения. Из рисунка видно, что $AB \parallel CD$. Угол $DCE$ и угол $105^{\circ}$ — односторонние при $CD \parallel EF$ (если достроить). Однако, исходя из равенства накрест лежащих углов ($43^{\circ}$), $AB \parallel CD$. Угол $DCE$ является внешним к углу при секущей. Если рассматривать $CD \parallel EF$, то $\angle DCE = 180^{\circ} - 105^{\circ} = 75^{\circ}$. **Ответ:** $75^{\circ}$. 3. В треугольнике $ABC$ сумма углов равна $180^{\circ}$. На рис. 51 $\angle A = 28^{\circ} + 10^{\circ} = 38^{\circ}$. $\angle B = 72^{\circ}$. $\angle C = 180^{\circ} - (38^{\circ} + 72^{\circ}) = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$. **Ответ:** $70^{\circ}$. 4. Доказательство: 1) $\angle BAO = \angle DCO$ как накрест лежащие при $AB \parallel CD$ и секущей $AC$. 2) $\angle ABO = \angle CDO$ как накрест лежащие при $AB \parallel CD$ и секущей $BD$. 3) $BO = CO$ по условию. Следовательно, $\triangle ABO = \triangle DCO$ по стороне и двум прилежащим к ней углам (2-й признак). Из равенства треугольников следует, что $AB = CD$. **Что и требовалось доказать.** 5. В $\triangle ABC$: $\angle C = 90^{\circ}, \angle A = 60^{\circ}$, значит $\angle B = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$. В $\triangle AKC$: $\angle KAC = 60^{\circ}$ (по условию), $\angle C = 90^{\circ}$, значит $\angle AKC = 30^{\circ}$. В $\triangle ABK$: $\angle KAB = \angle BAC - \angle KAC = 60^{\circ} - 60^{\circ} = 0^{\circ}$. Это означает, что точка $K$ совпадает с $B$ на гипотенузе, но по условию $K$ на катете $BC$. Допущение: вероятно, в условии опечатка и $\angle KAC$ — это часть угла $A$. Если $\angle KAC = 60^{\circ}$, то точка $K$ совпадает с $B$ только если $BC$ — гипотенуза. При стандартном условии, если $\triangle KAB$ равнобедренный ($BK=AK$), то $AK = 12$ см. **Ответ:** $12$ см.