1. а) Решите уравнение sin 2x - 2√3 cos(x + 7π/6) = 3 cos x. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3π/2; 0].

1. а) **Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$** Раскроем косинус суммы по формуле $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$: $$\cos\left(x + \frac{7\pi}{6}\right) = \cos x \cos\frac{7\pi}{6} - \sin x \sin\frac{7\pi}{6} = \cos x \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \sin x \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x + \frac{1}{2}\sin x$$ Подставим в исходное уравнение: $$\sin 2x - 2\sqrt{3}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x + \frac{1}{2}\sin x\right) = 3\cos x$$ $$2\sin x \cos x + 3\cos x - \sqrt{3}\sin x = 3\cos x$$ $$2\sin x \cos x - \sqrt{3}\sin x = 0$$ $$\sin x(2\cos x - \sqrt{3}) = 0$$ 1. $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$ 2. $2\cos x - \sqrt{3} = 0 \Rightarrow \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ **Допущение:** В условии на изображении после раскрытия скобок и упрощения получается иная структура. Пересчитаем внимательно: $2\sin x \cos x + 3\cos x - \sqrt{3}\sin x = 3\cos x$ сокращает $3\cos x$. Остается $2\sin x \cos x - \sqrt{3}\sin x = 0$. $\sin x (2\cos x - \sqrt{3}) = 0$. $x = \pi k$ или $x = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k$. б) **Ответ: $-\pi, -\frac{\pi}{6}$** Отберем корни на отрезке $[-\frac{3\pi}{2}; 0]$: - Из $x = \pi k$: $k = -1 \Rightarrow x = -\pi$; $k = 0 \Rightarrow x = 0$. - Из $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$: нет. - Из $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$: $k = 0 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{6}$. 2. а) **Ответ: $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$** Преобразуем уравнение, используя $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$: $$2\sin^3 x + \sin x + 2\sqrt{2} = 2\sqrt{2}(1 - \sin^2 x)$$ $$2\sin^3 x + 2\sqrt{2}\sin^2 x + \sin x = 0$$ $$\sin x (2\sin^2 x + 2\sqrt{2}\sin x + 1) = 0$$ 1. $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$ 2. $2\sin^2 x + 2\sqrt{2}\sin x + 1 = 0$ Пусть $\sin x = t, |t| \le 1$. $2t^2 + 2\sqrt{2}t + 1 = 0$. Это полный квадрат: $(\sqrt{2}t + 1)^2 = 0$. $t = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$ или $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$. б) **Ответ: $-2\pi, -\frac{9\pi}{4}$** Отберем корни на отрезке $[-\frac{5\pi}{2}; -\pi]$: - Из $x = \pi k$: $x = -2\pi, x = -\pi$. - Из $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$: $k = -1 \Rightarrow x = -\frac{9\pi}{4}$. - Из $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$: нет на отрезке.