а) Решите уравнение √2 sin(2x + π/4) + √2 cos x = sin 2x - 1. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-5π/2; -π].

а) Раскроем синус суммы в первом слагаемом: $\sqrt{2} \left( \sin 2x \cos \frac{\pi}{4} + \cos 2x \sin \frac{\pi}{4} \right) + \sqrt{2} \cos x = \sin 2x - 1$ $\sqrt{2} \left( \sin 2x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos 2x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \right) + \sqrt{2} \cos x = \sin 2x - 1$ $\sin 2x + \cos 2x + \sqrt{2} \cos x = \sin 2x - 1$ $\cos 2x + \sqrt{2} \cos x + 1 = 0$ Применим формулу двойного угла $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$: $2\cos^2 x - 1 + \sqrt{2} \cos x + 1 = 0$ $2\cos^2 x + \sqrt{2} \cos x = 0$ $\cos x (2\cos x + \sqrt{2}) = 0$ 1. $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ 2. $2\cos x + \sqrt{2} = 0 \Rightarrow \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ б) Отберем корни на отрезке $[-\frac{5\pi}{2}; -\pi]$: 1. $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$: При $k = -2: x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2}$ (входит) При $k = -3: x = \frac{\pi}{2} - 3\pi = -\frac{5\pi}{2}$ (входит) 2. $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$: При $n = -1: x = \frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{5\pi}{4}$ (входит) 3. $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n$: При $n = -1: x = -\frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{11\pi}{4}$ (не входит, так как $-\frac{11\pi}{4} < -\frac{10\pi}{4}$) **Ответ:** а) $\frac{\pi}{2} + \pi k; \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, k, n \in \mathbb{Z}$ б) $-\frac{5\pi}{2}; -\frac{3\pi}{2}; -\frac{5\pi}{4}$