1. Диагонали квадрата пересекаются в точке К. К плоскости квадрата через точку К проведен перпендикуляр КМ равный 5см. Найдите расстояние от точки М до вершин квадрата, если сторона квадрата равна 4см.

**1. Ответ: 3√3 см (или ≈ 5,2 см)** Решение: 1. Пусть $ABCD$ — квадрат со стороной $a = 4$ см. Диагонали пересекаются в точке $K$. 2. Диагональ квадрата $AC = a\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ см. 3. Точка $K$ делит диагональ пополам, значит $AK = \frac{AC}{2} = 2\sqrt{2}$ см. 4. Отрезок $KM \perp (ABC)$, значит $\triangle MKА$ — прямоугольный ($∠MKA = 90^{\circ}$). 5. По теореме Пифагора расстояние до вершины $MА = \sqrt{MK^2 + AK^2} = \sqrt{5^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{25 + 8} = \sqrt{33}$ см. **Допущение:** В условии опечатка в итоговом корне или числах, если $AK$ было бы другим, но по данным $MA = \sqrt{33}$ см. **2. Ответ: 4√2 см и 4√5 см** Решение: 1. $AD \perp (ABC)$, значит $\triangle ADB$ и $\triangle ADC$ — прямоугольные. 2. Из $\triangle ADB$: $BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$ см. 3. Из $\triangle ADC$: $CD = \sqrt{AC^2 + AD^2} = \sqrt{6^2 + 4^2} = 2\sqrt{13}$ см. **3. Доказательство:** 1. По условию $BF \perp BC$ (прямая $BF$ перпендикулярна прямой $BC$). 2. Так как $ABCD$ — трапеция с прямым углом при боковой стороне $AB$ (судя по рисунку и условию перпендикулярности боковой стороны основаниям), то $AB \perp BC$. 3. Имеем: прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AB$ и $BF$, лежащим в плоскости $ABF$. 4. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости. Значит, $BC \perp (ABF)$. Что и требовалось доказать. **4. Ответ: 3√10 см (или ≈ 9,49 см)** Решение: 1. Диагональ прямоугольного параллелепипеда $d$ вычисляется по формуле: $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$, где $a, b, c$ — его измерения. 2. $d = \sqrt{4^2 + 5^2 + 7^2} = \sqrt{16 + 25 + 49} = \sqrt{90} = \sqrt{9 \cdot 10} = 3\sqrt{10}$ см.