1. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$, $DB_1 = 21$ см, $CD = 16$ см, $B_1C_1 = 11$ см. Найди длину ребра $BB_1$ и синус угла между диагональю $DB_1$ и плоскостью $ABCD$.

1. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ребро $CD = AB = 16$ см. Ребро $B_1C_1 = BC = 11$ см. В прямоугольном треугольнике $ABD$ по теореме Пифагора находим $BD$: $$BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{16^2 + 11^2} = \sqrt{256 + 121} = \sqrt{377}$$ см. Рассмотрим прямоугольный треугольник $B_1BD$. $DB_1$ — гипотенуза, $BB_1$ и $BD$ — катеты. По теореме Пифагора находим $BB_1$: $$BB_1 = \sqrt{DB_1^2 - BD^2} = \sqrt{21^2 - (\sqrt{377})^2} = \sqrt{441 - 377} = \sqrt{64} = 8$$ см. Синус угла между диагональю $DB_1$ и плоскостью $ABCD$ равен отношению высоты $BB_1$ к длине диагонали $DB_1$: $$\sin(\angle(DB_1, ABCD)) = \frac{BB_1}{DB_1} = \frac{8}{21}$$ **Ответ:** длина ребра $BB_1 = 8$ см, синус угла между диагональю $DB_1$ и плоскостью $ABCD = \frac{8}{21}$. 2. Пусть ромб $ABCD$ с центром $O$. Сторона ромба $AB = 5$ см, диагональ $BD = 6$ см. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Значит, $BO = OD = \frac{BD}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOB$ (угол $AOB = 90^\circ$). По теореме Пифагора находим $AO$: $$AO = \sqrt{AB^2 - BO^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$$ см. Так как $OK$ перпендикулярна плоскости ромба, то $OK$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, проходящей через $O$. Значит, треугольники $KOB$, $KOC$, $KOD$, $KOA$ прямоугольные с прямым углом при вершине $O$. Нам нужно найти расстояние от точки $K$ до вершин ромба. Все вершины ромба равноудалены от точки $O$ в плоскости ромба, если рассматривать диагонали. Расстояния $AO = 4$ см и $BO = 3$ см. Найдем расстояние $KA$ до вершины $A$. В прямоугольном треугольнике $KOA$ ($KO \perp AO$): $$KA = \sqrt{KO^2 + AO^2} = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$$ см. Найдем расстояние $KB$ до вершины $B$. В прямоугольном треугольнике $KOB$ ($KO \perp BO$): $$KB = \sqrt{KO^2 + BO^2} = \sqrt{8^2 + 3^2} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73}$$ см. Расстояния до вершин будут равны: $KA = KC = 4\sqrt{5}$ см, $KB = KD = \sqrt{73}$ см. **Ответ:** Расстояние от точки $K$ до вершин $A$ и $C$ составляет $4\sqrt{5}$ см, до вершин $B$ и $D$ составляет $\sqrt{73}$ см. 3. Допущение: прямой угол прямоугольного равнобедренного треугольника находится между двумя равными катетами. Пусть данный прямоугольный равнобедренный треугольник — это $\triangle ABC$, где $\angle C = 90^\circ$ и $AC = BC = 4$ см. Гипотенуза $AB$ по теореме Пифагора: $$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$$ см. Плоскость $\alpha$ проходит через катет, пусть это будет катет $BC$. Угол между плоскостью $\alpha$ и плоскостью треугольника равен $30^\circ$. Чтобы найти проекцию гипотенузы $AB$ на плоскость $\alpha$, нам нужно найти расстояние от точки $A$ до плоскости $\alpha$. Пусть $A'$ — проекция точки $A$ на плоскость $\alpha$. Поскольку плоскость $\alpha$ проходит через $BC$, то $BC$ является линией пересечения плоскости треугольника и плоскости $\alpha$. Опустим перпендикуляр из $A$ на $BC$. В равнобедренном прямоугольном треугольнике это не требуется, так как $AC \perp BC$. Угол между плоскостью $\triangle ABC$ и плоскостью $\alpha$ равен $30^\circ$. Этот угол определяется как угол между перпендикулярами, проведенными в этих плоскостях к общей линии пересечения $BC$. Так как $AC \perp BC$, то $AC$ — один из таких перпендикуляров. Опустим перпендикуляр из $A$ на плоскость $\alpha$. Пусть $AC'$ будет перпендикуляром из $A$ к линии $BC$ в плоскости $\alpha$. Тогда угол между $AC$ и $AC'$ будет $30^\circ$. Это не совсем верно. Пусть $A'$ — проекция точки $A$ на плоскость $\alpha$. Тогда $AA'$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$. Линия $BC$ лежит в плоскости $\alpha$. Так как $AC \perp BC$, то $AC$ перпендикулярна линии $BC$ в плоскости $\triangle ABC$. Угол между плоскостью $\triangle ABC$ и плоскостью $\alpha$ равен $30^\circ$. Это значит, что если из точки $A$ опустить перпендикуляр $AD$ на линию $BC$, а затем из точки $D$ провести прямую в плоскости $\alpha$ перпендикулярно $BC$ (это будет сама линия $BC$), то угол между $AD$ и плоскостью $\alpha$ будет $30^ ext{o}$. Давай уточним. Если плоскость $\alpha$ проходит через катет $BC$, то $BC$ является линией пересечения двух плоскостей. Проведем из точки $A$ перпендикуляр к $BC$, это будет сам катет $AC$. Длина $AC = 4$ см. Пусть $A'$ — проекция точки $A$ на плоскость $\alpha$. Тогда длина $AA'$ — это расстояние от точки $A$ до плоскости $\alpha$. Если $AC$ — перпендикуляр к $BC$ в плоскости $\triangle ABC$, то проекция $AC$ на плоскость $\alpha$ будет $A'C$. Угол между $AC$ и $A'C$ равен $30^\circ$. В прямоугольном треугольнике $ACA'$: $$AA' = AC \cdot \sin(30^\circ) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$$ см. $$A'C = AC \cdot \cos(30^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$$ см. Проекция гипотенузы $AB$ на плоскость $\alpha$ — это отрезок $A'B$. В прямоугольном треугольнике $A'CB$ (так как $AA' \perp \alpha$, и $BC$ лежит в $\alpha$, $A'C$ - проекция $AC$ на $\alpha$, $AC \perp BC$, то $A'C \perp BC$): $$(A'B)^2 = (A'C)^2 + BC^2$$ $$(A'B)^2 = (2\sqrt{3})^2 + 4^2 = 12 + 16 = 28$$ $$A'B = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$$ см. **Ответ:** Длина проекции гипотенузы на плоскость $\alpha$ составляет $2\sqrt{7}$ см.