Вариант 2. А1. Из некоторой точки проведены к данной плоскости перпендикуляр и наклонная, угол между которыми равен ф. Найдите перпендикуляр и проекцию наклонной, если наклонная равна m.

А1. **Ответ: 3) $m \cos \varphi$, $m \sin \varphi$** Пусть $h$ — перпендикуляр, $p$ — проекция, $m$ — наклонная. В прямоугольном треугольнике, образованном ими: $h = m \cdot \cos \varphi$ $p = m \cdot \sin \varphi$ А2. **Ответ: 3) 14 см** Пусть расстояние до плоскости равно $h$. Проекции равны $5x$ и $4x$. По теореме Пифагора: $h^2 = 19^2 - (5x)^2 = 361 - 25x^2$ $h^2 = (2\sqrt{70})^2 - (4x)^2 = 280 - 16x^2$ $361 - 25x^2 = 280 - 16x^2$ $81 = 9x^2 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = 3$ $h^2 = 361 - 25 \cdot 9 = 361 - 225 = 136$ **Допущение:** В условии задачи А2 или вариантах ответов допущена опечатка. Если вторая наклонная $2\sqrt{70}$, то $h = \sqrt{136} = 2\sqrt{34}$ (вариант 2). Если же имелось в виду $h=14$, то вторая наклонная должна быть другой. При $x=3$ проекции равны 15 и 12. Тогда $h = \sqrt{19^2 - 15^2} = \sqrt{361 - 225} = \sqrt{136} \approx 11.66$. Проверим вариант 3: $14^2 = 196$. $19^2 - 196 = 165$. $(2\sqrt{70})^2 - 196 = 280 - 196 = 84$. $165/84$ не равно $(5/4)^2$. Вероятнее всего, правильный ответ — **2) $2\sqrt{34}$ см**. А3. **Ответ: 4) 4 см** Пусть концы отрезка $A$ и $B$ находятся на расстояниях $a=9$ и $b=6$ от плоскости. Проекция всего отрезка $AB$ на плоскость: $L = \sqrt{AB^2 - (a+b)^2} = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{289 - 225} = 8$ см. Так как $C$ — середина $AB$, то её проекция делит общую проекцию пополам (по теореме Фалеса): $8 : 2 = 4$ см. В1. **Ответ: 9** 1. В равнобедренном $\triangle ABC$ проведем высоту $BH$ к $AC$. $AH = HC = 30 / 2 = 15$. По теореме Пифагора $BH = \sqrt{17^2 - 15^2} = 8$. 2. Расстояние от $D$ до $AC$ — это гипотенуза $DH$ в прямоугольном $\triangle DBH$ (так как $BD \perp ABC$). 3. $DH = \sqrt{BD^2 + BH^2} = \sqrt{(\sqrt{17})^2 + 8^2} = \sqrt{17 + 64} = \sqrt{81} = 9$. В2. **Ответ: $\frac{a\sqrt{5}}{2}$** 1. Расстояние от точки $A$ до прямой $CD$ — это высота ромба $h = a \cdot \sin 30^\circ = a/2$. 2. Так как $AM \perp ABCD$, то по теореме о трех перпендикулярах расстояние от $M$ до $CD$ — это гипотенуза в треугольнике с катетами $AM=a$ и высотой ромба $h=a/2$. 3. $d = \sqrt{a^2 + (a/2)^2} = \sqrt{a^2 + a^2/4} = \sqrt{5a^2/4} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$. С1. **Ответ: $\sin \varphi / \sqrt{2}$** Пусть длина $AM = L$. Тогда расстояние от $M$ до плоскости $h = L \sin \varphi$. Расстояния до сторон $AD$ и $AB$ равны $d_1 = L \sin \alpha$ и $d_2 = L \sin \alpha$. По теореме Пифагора для проекции наклонной: $h^2 = d_1^2 + d_2^2 - (\text{проекция})^2$. Для прямоугольника $\sin^2 \varphi = \sin^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 2 \sin^2 \alpha$, отсюда $\sin \alpha = \frac{\sin \varphi}{\sqrt{2}}$.