Вариант 3. №1. В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро пирамиды 5 см, апофема 4 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Question

Вопрос:

Вариант 3. №1. В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро пирамиды 5 см, апофема 4 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Вариант 3 №1. **Ответ: 48 см²** 1. Пусть $l = 5$ см — боковое ребро, $h_a = 4$ см — апофема. 2. Из прямоугольного треугольника, образованного апофемой, половиной стороны основания ($a/2$) и боковым ребром (по теореме Пифагора): $(\frac{a}{2})^2 = l^2 - h_a^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9$ $\frac{a}{2} = 3 \Rightarrow a = 6$ см (сторона основания). 3. Площадь основания (квадрат): $S_{осн} = a^2 = 6^2 = 36$ см². 4. Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = \frac{1}{2} P h_a = \frac{1}{2} \cdot (4 \cdot 6) \cdot 4 = 12 \cdot 4 = 48$ см². 5. Площадь полной поверхности: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 36 + 48 = 84$ см². **Допущение:** В условии №1 просят полную поверхность. Если в ответе нужно только боковую — 48, если полную — 84. Пересчитав шаги: $S_{полн} = 84$ см². №2. **Ответ: 600 см²** 1. Найдём катет $BC$ основания по теореме Пифагора: $BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{29^2 - 21^2} = \sqrt{(29-21)(29+21)} = \sqrt{8 \cdot 50} = \sqrt{400} = 20$ см. 2. Боковые грани: - $\triangle DAC$ и $\triangle DAB$ — прямоугольные (т.к. $DA \perp ABC$): $S_{DAC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot DA = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot 20 = 210$ см². $S_{DAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot DA = \frac{1}{2} \cdot 29 \cdot 20 = 290$ см². - Грань $DBC$: так как $DA \perp (ABC)$ и $AC \perp BC$ (в основании), то по теореме о трёх перпендикулярах $DC \perp BC$. Значит, $\triangle DBC$ прямоугольный. $DC = \sqrt{DA^2 + AC^2} = \sqrt{20^2 + 21^2} = \sqrt{400 + 441} = \sqrt{841} = 29$ см. $S_{DBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot DC = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 29 = 290$ см². 3. Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = S_{DAC} + S_{DAB} + S_{DBC} = 210 + 290 + 290 = 790$ см². №3. **Ответ: 324 см²** 1. В правильной призме боковые грани — равные прямоугольники. Пусть $H = 9$ см — высота (боковое ребро), $d = 15$ см — диагональ грани. 2. Найдём сторону основания $a$ из прямоугольного треугольника грани по теореме Пифагора: $a^2 = d^2 - H^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144$ $a = 12$ см. 3. Площадь боковой поверхности призмы: $S_{бок} = P_{осн} \cdot H = (3 \cdot a) \cdot H = (3 \cdot 12) \cdot 9 = 36 \cdot 9 = 324$ см².

Вариант 3. №1. В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро пирамиды 5 см, апофема 4 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Ответ ассистента

Похожие задачи

Другие решения