1. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 4 см, а плоский угол при вершине пирамиды — 90°. Найдите высоту пирамиды.

1. Пусть $SABC$ — правильная пирамида с вершиной $S$ и основанием $ABC$. Сторона основания $a = 4$ см, плоский угол при вершине $\angle ASB = 90^\circ$. В равнобедренном прямоугольном $\triangle ASB$ боковое ребро $l$: $l^2 + l^2 = a^2 \Rightarrow 2l^2 = 16 \Rightarrow l^2 = 8 \Rightarrow l = 2\sqrt{2}$ см. Радиус описанной окружности основания $R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$ см. Высота пирамиды $H = \sqrt{l^2 - R^2} = \sqrt{8 - \frac{16}{3}} = \sqrt{\frac{24-16}{3}} = \sqrt{\frac{8}{3}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$ см. Ответ: $\frac{2\sqrt{6}}{3}$ см. 2. Сторона основания $a = 16$, боковое ребро $l = 17$. Площадь боковой поверхности $S_{бок} = 3 \cdot S_{\triangle}$. Найдем апофему $h_{a}$ из прямоугольного треугольника (половина стороны основания и боковое ребро): $h_{a} = \sqrt{l^2 - (a/2)^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$. $S_{бок} = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{a} = \frac{3}{2} \cdot 16 \cdot 15 = 192$ (или $3 \cdot 8 \cdot 15 = 360$). Посчитаем точнее: $3 \cdot (0.5 \cdot 16 \cdot 15) = 3 \cdot 120 = 360$. Ответ: 360. 3. Квадрат с диагональю $d = 18$ см. Его сторона $a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{18}{\sqrt{2}} = 9\sqrt{2}$ см. Площадь основания $S_{осн} = a^2 = (9\sqrt{2})^2 = 81 \cdot 2 = 162$ см$^2$. Так как все грани наклонены под углом $\alpha = 45^\circ$, то $S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos \alpha} = \frac{162}{\cos 45^\circ} = \frac{162}{\sqrt{2}/2} = \frac{324}{\sqrt{2}} = 162\sqrt{2}$ см$^2$. Ответ: $162\sqrt{2}$ см$^2$. 4. Сторона основания $a = 14$, боковое ребро $l = 25$. Площадь основания (правильный шестиугольник): $S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 196 = 294\sqrt{3}$. Апофема $h_{a} = \sqrt{l^2 - (a/2)^2} = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24$. Периметр основания $P = 6 \cdot 14 = 84$. $S_{бок} = \frac{1}{2} P h_{a} = \frac{1}{2} \cdot 84 \cdot 24 = 42 \cdot 24 = 1008$. Полная поверхность $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 294\sqrt{3} + 1008$. Ответ: $1008 + 294\sqrt{3}$.