Найти площадь поверхности куба, если его диагональ равна 5√3.

1. Пусть $a$ — ребро куба. Диагональ куба вычисляется по формуле $d = a\sqrt{3}$. $a\sqrt{3} = 5\sqrt{3} \Rightarrow a = 5$. Площадь поверхности куба: $S = 6a^2 = 6 \cdot 5^2 = 6 \cdot 25 = 150$. **Ответ: 150**. 2. Найдём гипотенузу основания по теореме Пифагора: $c = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$. Большая боковая грань примыкает к большей стороне основания (гипотенузе). Так как это квадрат, высота призмы $h = c = 13$. Площадь основания: $S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30$. Периметр основания: $P = 5 + 12 + 13 = 30$. Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = P \cdot h = 30 \cdot 13 = 390$. Полная площадь: $S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 30 + 390 = 60 + 390 = 450$. **Ответ: 450**. 3. В основании правильный треугольник со стороной $a = 10$. Найдём его площадь: $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{100\sqrt{3}}{4} = 25\sqrt{3}$. Найдём апофему $L$ из прямоугольного треугольника (боковая грань): $L = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$. Периметр основания: $P = 3 \cdot 10 = 30$. Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = \frac{1}{2} P L = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 12 = 180$. Полная площадь: $S_{полн} = 25\sqrt{3} + 180$. **Ответ: $25\sqrt{3} + 180$**. 4. Площади оснований: $S_1 = 6^2 = 36$, $S_2 = 3^2 = 9$. Периметры оснований: $P_1 = 4 \cdot 6 = 24$, $P_2 = 4 \cdot 3 = 12$. Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = \frac{P_1 + P_2}{2} \cdot L = \frac{24 + 12}{2} \cdot 5 = 18 \cdot 5 = 90$. Полная площадь: $S_{полн} = S_1 + S_2 + S_{бок} = 36 + 9 + 90 = 135$. **Ответ: 135**. 5. У правильного тетраэдра все 4 грани — равные правильные треугольники со стороной $a = 10$. Площадь одной грани: $S_{гр} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{100\sqrt{3}}{4} = 25\sqrt{3}$. Полная площадь: $S = 4 S_{гр} = 4 \cdot 25\sqrt{3} = 100\sqrt{3}$. **Ответ: $100\sqrt{3}$**.