В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 4 см, а плоский угол при вершине пирамиды — 90°. Найдите высоту пирамиды.

1. Пусть пирамида $SABC$, где $S$ — вершина. В правильной пирамиде боковые грани — равные равнобедренные треугольники. Рассмотрим грань $SBC$: она прямоугольная ($∠BSC = 90^°$) и равнобедренная ($SB = SC$). Гипотенуза $BC = 4$ см. Тогда боковое ребро $l = SB = ?rac{BC}{\sqrt{2}} = ?rac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ см. Высота пирамиды $H$ падает в центр основания (точку $O$). Радиус описанной окружности правильного треугольника $R = AO = ?rac{a\sqrt{3}}{3} = ?rac{4∙\sqrt{3}}{3}$ см. Из прямоугольного $\triangle SOA$: $H = \sqrt{SA^2 - AO^2} = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 - (\frac{4\sqrt{3}}{3})^2} = \sqrt{8 - ?rac{16 ∙ 3}{9}} = \sqrt{8 - ?rac{16}{3}} = \sqrt{?rac{24 - 16}{3}} = \sqrt{?rac{8}{3}} = ?rac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = ?rac{2\sqrt{6}}{3}$ см. **Ответ: $?rac{2\sqrt{6}}{3}$ см.** 2. Площадь боковой поверхности $S_{бок} = ?rac{1}{2} P h$, где $P$ — периметр основания, $h$ — апофема. $P = 3 ∙ 16 = 48$. Апофема $h$ находится из боковой грани (равнобедренный треугольник со сторонами 17, 17 и 16): $h = \sqrt{17^2 - (?rac{16}{2})^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$. $S_{бок} = ?rac{1}{2} ∙ 48 ∙ 15 = 24 ∙ 15 = 360$. **Ответ: 360.** 3. Если все грани наклонены под углом $α$, то $S_{бок} = ?rac{S_{осн}}{\cos α}$. В основании квадрат с диагональю $d = 18$ см. $S_{осн} = ?rac{1}{2} d^2 = ?rac{1}{2} ∙ 18^2 = ?rac{324}{2} = 162$ см$^2$. $S_{бок} = ?rac{162}{\cos 45^°} = ?rac{162}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = ?rac{324}{\sqrt{2}} = 162\sqrt{2}$ см$^2$. **Ответ: $162\sqrt{2}$ см$^2$.** 4. $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$. $S_{осн} = ?rac{3\sqrt{3}}{2} a^2 = ?rac{3\sqrt{3}}{2} ∙ 14^2 = ?rac{3\sqrt{3} ∙ 196}{2} = 294\sqrt{3}$. Апофема $h = \sqrt{25^2 - (?rac{14}{2})^2} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24$. $S_{бок} = ?rac{1}{2} P h = ?rac{1}{2} ∙ (6 ∙ 14) ∙ 24 = 3 ∙ 14 ∙ 24 = 1008$. $S_{полн} = 294\sqrt{3} + 1008$. **Ответ: $294\sqrt{3} + 1008$.**