Боковое ребро правильной треугольной призмы равно 5 см, а диагональ боковой грани равна 13 см. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.

1) Пусть $a$ — сторона основания призмы, $h$ — боковое ребро (высота) призмы. Боковое ребро $h = 5$ см. Диагональ боковой грани $d = 13$ см. В боковой грани (прямоугольнике) по теореме Пифагора: $$a^2 + h^2 = d^2$$ $$a^2 + 5^2 = 13^2$$ $$a^2 + 25 = 169$$ $$a^2 = 169 - 25$$ $$a^2 = 144$$ $$a = \sqrt{144}$$ $$a = 12 \text{ см}$$ Площадь боковой поверхности призмы $S_{\text{бок}} = P_{\text{осн}} \cdot h$. Для правильной треугольной призмы $P_{\text{осн}} = 3a$. $$S_{\text{бок}} = 3a \cdot h = 3 \cdot 12 \cdot 5 = 180 \text{ см}^2$$ Площадь основания правильной треугольной призмы $S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$. $$S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 12^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 144 = 36\sqrt{3} \text{ см}^2$$ Полная площадь поверхности призмы $S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + 2S_{\text{осн}}$. $$S_{\text{полн}} = 180 + 2 \cdot 36\sqrt{3} = (180 + 72\sqrt{3}) \text{ см}^2$$ **Ответ:** Площадь боковой поверхности: $180 \text{ см}^2$. Площадь полной поверхности: $(180 + 72\sqrt{3}) \text{ см}^2$.