1. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 6 см, а диагональ боковой грани 10 см. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы. 2. Основание прямой призмы - ромб со стороной 5 см и тупым углом 120 градусов. Боковая поверхность призмы имеет площадь 240 см2. Найдите площадь сечения призмы, проходящего через боковое ребро и меньшую диагональ основания.

1. **Ответ: $S_{бок} = 144 \text{ см}^2, S_{полн} = (144 + 18\sqrt{3}) \text{ см}^2$** **Решение:** * Призма правильная треугольная, значит в основании — равносторонний треугольник со стороной $a = 6 \text{ см}$. Боковая грань — прямоугольник. * Найдем высоту призмы $h$ из прямоугольного треугольника (боковой грани) по теореме Пифагора: $h = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \text{ см}$. * Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = (3 \cdot 6) \cdot 8 = 18 \cdot 8 = 144 \text{ см}^2$. * Площадь основания (равносторонний треугольник): $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} \text{ см}^2$. * Площадь полной поверхности: $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 144 + 2 \cdot 9\sqrt{3} = 144 + 18\sqrt{3} \text{ см}^2$. 2. **Ответ: $60 \text{ см}^2$** **Решение:** * Периметр ромба в основании: $P_{осн} = 4 \cdot 5 = 20 \text{ см}$. * Найдем высоту призмы $h$: $h = S_{бок} / P_{осн} = 240 / 20 = 12 \text{ см}$. * В ромбе с тупым углом $120^{\circ}$ острый угол равен $180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$. Меньшая диагональ ромба $d_1$ лежит против острого угла $60^{\circ}$. Треугольник, образованный двумя сторонами и меньшей диагональю, является равносторонним (так как углы при основании $(180-60)/2 = 60^{\circ}$), значит $d_1 = a = 5 \text{ см}$. * Сечение, проходящее через боковое ребро и меньшую диагональ основания, — это прямоугольник со сторонами $d_1$ и $h$. * Площадь сечения: $S_{сеч} = d_1 \cdot h = 5 \cdot 12 = 60 \text{ см}^2$.