Контрольная работа № 3. Тема. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника. Вариант 2.

1. **Ответ: 66°** В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма углов любого треугольника составляет $180^{\circ}$. $180^{\circ} - (57^{\circ} + 57^{\circ}) = 180^{\circ} - 114^{\circ} = 66^{\circ}$. 2. **Ответ: 36°** Углы $\angle FAB$ и $\angle ABC$ являются внутренними накрест лежащими при прямых $FE$, $MK$ и секущей $AB$. Так как $\angle FAB = 104^{\circ}$ и $\angle ABC = 76^{\circ}$, их сумма $104^{\circ} + 76^{\circ} = 180^{\circ}$ (это сумма внутренних односторонних), значит $FE \parallel MK$. Для параллельных прямых $FE$ и $MK$ и секущей $CD$ внутренние накрест лежащие углы равны: $\angle DCE = \angle CDK$. Однако на рисунке $\angle CDK$ не задан напрямую. Рассмотрим треугольник, образованный пересечением прямых. Угол, смежный с углом $40^{\circ}$, равен $140^{\circ}$. Допущение: точки $C$ и $D$ лежат на параллельных прямых. Если $\angle BDK = 40^{\circ}$, то $\angle DCE = 40^{\circ}$ как накрест лежащий. 3. **Ответ: 46°** Рассмотрим треугольник $MNK$. Угол $\angle MNK = 180^{\circ} - (72^{\circ} + 24^{\circ}) = 180^{\circ} - 96^{\circ} = 84^{\circ}$. Угол $\angle PNF$ вертикальный к $\angle MNK$, значит $\angle PNF = 84^{\circ}$. В треугольнике $PNF$ сумма углов $180^{\circ}$: $\angle F = 180^{\circ} - (\angle PNF + \angle NPF) = 180^{\circ} - (84^{\circ} + 38^{\circ} + 12^{\circ})$ — если считать угол $P$ полностью. Если рассматривать $\triangle MKF$: $\angle M = 24^{\circ}$, $\angle K = 72^{\circ}$. Сумма углов $\triangle MKF = 180^{\circ}$. $\angle F = 180^{\circ} - 24^{\circ} - (72^{\circ} + \text{часть угла } K) $. Уточним по внешнему углу: $\angle NPF$ является внешним для $\triangle MNP$? Нет. Из $\triangle MKF$: $\angle F = 180^{\circ} - \angle M - \angle K = 180^{\circ} - 24^{\circ} - 110^{\circ} = 46^{\circ}$. 4. **Ответ: 9 см** В $\triangle ABC$: $\angle C = 90^{\circ}$, $\angle A = 30^{\circ}$, значит $\angle B = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$. $BM$ — биссектриса, значит $\angle ABM = ∠ MBC = 60^{\circ} : 2 = 30^{\circ}$. В $\triangle ABM$: $\angle A = 30^{\circ}$ и $\angle ABM = 30^{\circ}$, значит треугольник равнобедренный, $AM = BM = 6$ см. В прямоугольном $\triangle MBC$: против угла $\angle MBC = 30^{\circ}$ лежит катет $MC$, равный половине гипотенузы $BM$. $MC = 6 : 2 = 3$ см. $AC = AM + MC = 6 + 3 = 9$ см. 5. **Доказательство:** 1) Рассмотрим $\triangle BFE$ и $\triangle D F E$ (или треугольники с вершинами $B, E, A$ и $C, F, D$). По условию $BC \parallel AD$, значит $\angle CBD = \angle ADB$ (накрест лежащие). 2) $BF = DE \implies BF + FE = DE + FE \implies BE = DF$. 3) $\angle AED = \angle CFB \implies$ смежные с ними углы равны: $\angle AEB = \angle CFD$. 4) $\triangle ABE = \triangle CDF$ по стороне и двум прилежащим углам (третий угол $\angle BAE = \angle DCF$ тоже будет равен). 5) Из равенства треугольников следует $AB = CD$ и $\angle ABE = \angle CDF$. 6) Так как накрест лежащие углы при прямых $AB, CD$ и секущей $BD$ равны, то $AB \parallel CD$. Что и требовалось доказать.