Контрольная работа № 3. Тема: Параллельные прямые. Сумма углов треугольника. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 57°. Найдите угол при вершине этого треугольника. Найдите градусную меру угла DCE (рис. 277). Какова градусная мера угла F, изображённого на рисунке 278?

1. **Угол при вершине равнобедренного треугольника** Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если угол при основании $57^{\circ}$, то второй угол при основании тоже $57^{\circ}$. Угол при вершине $= 180^{\circ} - (57^{\circ} + 57^{\circ}) = 180^{\circ} - 114^{\circ} = 66^{\circ}$. **Ответ: $66^{\circ}$**. 2. **Градусная мера угла $DCE$ (рис. 277)** На рисунке прямые $AF$ и $BK$ пересечены секущими. $∠ FAC = 104^{\circ}$, $∠ ABD = 76^{\circ}$. Заметим, что $∠ FAC + ∠ ABD = 104^{\circ} + 76^{\circ} = 180^{\circ}$. Эти углы являются односторонними при прямых $FE$, $BK$ и секущей $AB$. Раз их сумма $180^{\circ}$, то $FE ∥ BK$. При параллельных прямых $FE$ и $BK$ и секущей $CD$ накрест лежащие углы равны. Значит, $∠ DCE = ∠ CDK = 40^{\circ}$. **Ответ: $40^{\circ}$**. 3. **Градусная мера угла $F$ (рис. 278)** В треугольнике $MNP$ сумма углов равна $180^{\circ}$. $∠ M = 24^{\circ} + ∠ NMP$ (недостаточно данных для прямого вычисления всех углов, но судя по рисунку 278, точка $F$ — это вершина треугольника $MKP$). Рассмотрим $ riangle MKP$: $∠ K = 72^{\circ}$, $∠ KMP = 24^{\circ} + 38^{\circ} = 62^{\circ}$. Тогда $∠ P = 180^{\circ} - (∠ K + ∠ KMP) = 180^{\circ} - (72^{\circ} + 62^{\circ}) = 180^{\circ} - 134^{\circ} = 46^{\circ}$. Если под углом $F$ подразумевается угол при вершине $P$ в треугольнике $MKP$ (буква $F$ на чертеже отсутствует, вероятно, опечатка в тексте и имеется в виду угол $P$ или точка пересечения): **Ответ: $46^{\circ}$** (для $∠ KPM$). 4. **Найти катет $AC$ в треугольнике $ABC$** В $ riangle ABC$ $∠ C = 90^{\circ}$, $∠ A = 30^{\circ}$. Тогда $∠ B = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$. $BM$ — биссектриса, значит $∠ ABM = ∠ MBC = 60^{\circ} : 2 = 30^{\circ}$. В прямоугольном $ riangle BCM$: катет $MC$ лежит против угла $∠ MBC = 30^{\circ}$, значит $MC = ?rac{1}{2} BM = ?rac{1}{2} imes 6 = 3$ см. В $ riangle ABM$: $∠ A = 30^{\circ}$ и $∠ ABM = 30^{\circ}$. Треугольник равнобедренный, $AM = BM = 6$ см. $AC = AM + MC = 6 + 3 = 9$ см. **Ответ: 9 см**. 5. **Доказать, что $AB ∥ CD$ (рис. 279)** Дано: $BC ∥ AD$, $BF = DE$, $∠ AED = ∠ CFB$. 1) Так как $BC ∥ AD$, то накрест лежащие углы при секущей $BD$ равны: $∠ CBF = ∠ ADE$. 2) Рассмотрим $ riangle BCF$ и $ riangle DAE$: $BF = DE$ (по условию), $∠ CBF = ∠ ADE$ (доказано), $∠ CFB = ∠ AED$ (по условию). Следовательно, $ riangle BCF = riangle DAE$ по второму признаку (сторона и два прилежащих угла). 3) Из равенства треугольников следует $BC = AD$. 4) Четырехугольник $ABCD$, у которого $BC ∥ AD$ и $BC = AD$, является параллелограммом. 5) В параллелограмме противоположные стороны параллельны, значит $AB ∥ CD$. Что и требовалось доказать.