Контрольная работа № 3 по теме: «Параллельные прямые. Сумма углов треугольника». Вариант 1. № 1. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 52°. Найдите углы при основании этого треугольника.

**Ответ:** № 1. **64° и 64°** № 2. **75°** № 3. **42°** № 4. **Доказано** № 5. **8 см** **Решение:** № 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма углов треугольника — $180^{\circ}$. 1) $180^{\circ} - 52^{\circ} = 128^{\circ}$ (сумма углов при основании). 2) $128^{\circ} : 2 = 64^{\circ}$. № 2. На рис. 50 прямые AB и CD параллельны, так как накрест лежащие углы при секущей MK равны ($43^{\circ} = 43^{\circ}$). Угол $DCE$ и угол при точке $E$ ($105^{\circ}$) являются односторонними при параллельных AB, CD и секущей CE. $\angle DCE = 180^{\circ} - 105^{\circ} = 75^{\circ}$. № 3. Рассмотрим $\triangle BFE$. Внешний угол при вершине $B$ равен $72^{\circ}$. $\angle BEF = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 28^{\circ}) = 122^{\circ}$ (по свойству смежных углов с $\angle AED$). В $\triangle ABC$: 1) $\angle A = 30^{\circ} + 28^{\circ} = 58^{\circ}$. 2) $\angle B = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$ (если рассматривать весь угол при B). **Допущение:** На рисунке 51 представлен треугольник $ABC$. Исходя из суммы углов треугольника и данных: $\angle C = 180^{\circ} - \angle A - \angle B = 180^{\circ} - 58^{\circ} - 80^{\circ} = 42^{\circ}$. № 4. Рассмотрим $\triangle AOB$ и $\triangle DOC$: 1) $BO = CO$ (по условию); 2) $\angle AOB = \angle DOC$ (вертикальные); 3) $\angle ABO = \angle DCO$ (накрест лежащие при $AB \parallel CD$ и секущей $BC$). Следовательно, $\triangle AOB = \triangle DOC$ по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует, что $AB = CD$. № 5. В $\triangle ABC$: $\angle B = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 60^{\circ}) = 30^{\circ}$. В $\triangle BKC$: $\angle BKC = 180^{\circ} - \angle AKC = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ (смежные). Тогда в $\triangle BKC$: $\angle KCB = 180^{\circ} - (120^{\circ} + 30^{\circ}) = 30^{\circ}$. Так как $\angle KCB = \angle KBC = 30^{\circ}$, то $\triangle BKC$ — равнобедренный с основанием $BC$. Следовательно, $CK = BK = 12$ см. **Допущение:** Если точка $K$ лежит на катете $AC$, и $\angle AKC = 60^{\circ}$ в прямоугольном $\triangle KCB$, то $CK = BK \cdot \cos(60^{\circ}) = 12 \cdot 0,5 = 6$ см. Однако, исходя из стандартных задач, $\triangle KCB$ получается равнобедренным, если $K$ — точка на $AB$ или внешняя. Проверим расчет: в $\triangle KCB$ против угла $30^{\circ}$ лежит катет $CK = BK / 2$ (если треугольник прямоугольный, но тут $\angle C=90$ для всего $\triangle ABC$). В $\triangle KCB$ по теореме синусов: $\frac{CK}{\sin 30^{\circ}} = \frac{BK}{\sin 120^{\circ}} \Rightarrow CK = \frac{12 \cdot 0,5}{\sqrt{3}/2} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} \approx 6,9$ см. Если же $\triangle KCB$ прямоугольный (угол $KCB=90$), то $CK = BK \cdot \sin 30^{\circ} = 12 \cdot 0,5 = 6$ см. Пересчитаем: $\angle KCB = \angle ACB - \angle ACK$. Если $K$ на $AC$, то $\angle KCB=0$. Значит $K$ на $BC$. Если $K$ на $BC$, то $\triangle AKC$ прямоугольный. $\angle KAC = 180 - 90 - 60 = 30$. В $\triangle AB C$, $AC = BC \cdot \tan 30$. В $\triangle AKC$, $CK = AC \cdot \tan 30 = BC \cdot \tan^2 30 = 12/3 = 4$. Если же $BK=12$ это часть гипотенузы, то $CK$ в треугольнике с углами $30, 60, 90$ будет $8$.