Г7 Контрольная работа № 3 по теме: «Параллельные прямые. Сумма углов треугольника». Вариант 1. № 1. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 52°. Найдите углы при основании этого треугольника.

Г7 Контрольная работа № 3 по теме: «Параллельные прямые. Сумма углов треугольника». Вариант 1. **№ 1.** **Ответ: 64°, 64°** Решение: 1) Сумма углов в треугольнике равна $180^{\circ}$. 2) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Пусть один угол при основании равен $x$. 3) Составим уравнение: $52^{\circ} + 2x = 180^{\circ}$; $2x = 180^{\circ} - 52^{\circ} = 128^{\circ}$; $x = 64^{\circ}$. **№ 2.** **Ответ: 75°** Решение: 1) Прямые $AB$ и $CD$ параллельны, так как внутренние накрест лежащие углы при секущей $MK$ равны ($43^{\circ} = 43^{\circ}$). 2) Угол $DCE$ и угол при точке $E$ ($105^{\circ}$) являются односторонними при параллельных прямых $AB \parallel CD$ и секущей $EF$. 3) Сумма односторонних углов равна $180^{\circ}$, но на рисунке 50 угол $105^{\circ}$ является внешним по отношению к углу $DCE$. Смежный с ним внутренний угол равен $180^{\circ} - 105^{\circ} = 75^{\circ}$. Так как прямые параллельны, соответственные углы равны. Следовательно, $\angle DCE = 180^{\circ} - 105^{\circ} = 75^{\circ}$. **№ 3.** **Ответ: 40°** Решение: 1) Из треугольника $ABE$: $\angle AEB = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 28^{\circ} + 72^{\circ} + 10^{\circ})$ — недостаточно данных для прямой суммы, пойдем через внешние углы. 2) В треугольнике $ABC$: $\angle A = 28^{\circ} + 30^{\circ} = 58^{\circ}$. В треугольнике $ABF$: $\angle B = 72^{\circ} + 10^{\circ} = 82^{\circ}$. 3) Сумма углов $\triangle ABC = 180^{\circ}$. $\angle C = 180^{\circ} - (\angle A + \angle B) = 180^{\circ} - (58^{\circ} + 82^{\circ}) = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}$. **№ 4.** **Доказательство:** 1) Рассмотрим $\triangle AOB$ и $\triangle DOC$. 2) $\angle AOB = \angle DOC$ как вертикальные. 3) Так как $AB \parallel CD$, то $\angle OBA = \angle OCD$ как накрест лежащие при секущей $BC$. 4) По условию $BO = CO$. 5) Значит, $\triangle AOB = \triangle DOC$ по второму признаку (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Из равенства треугольников следует, что $AB = CD$. Что и требовалось доказать. **№ 5.** **Ответ: 12 см** Решение: 1) В $\triangle ABC$: $\angle B = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 60^{\circ}) = 30^{\circ}$. 2) В $\triangle KBC$: $\angle KCB = 90^{\circ} - \angle ACK$. Нам не дан $\angle ACK$ напрямую, но $\angle AKC$ — внешний для $\triangle KBC$. Внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним: $\angle AKC = \angle KCB + \angle KBC$. 3) $60^{\circ} = \angle KCB + 30^{\circ} \Rightarrow \angle KCB = 30^{\circ}$. 4) Так как в $\triangle KBC$ углы при основании $BC$ равны ($\angle KBC = \angle KCB = 30^{\circ}$), то треугольник равнобедренный. 5) Следовательно, $CK = BK = 12$ см.