1. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 57. Найдите угол при вершине этого треугольника. 2. Найдите градусную меру угла DCE (рис. 277). 3. Какова градусная мера угла F, изображённого на рисунке 278?

1. **Ответ: 66^{\circ}** В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, два угла равны по $57^{\circ}$. Сумма всех углов треугольника составляет $180^{\circ}$. Угол при вершине = $180^{\circ} - (57^{\circ} + 57^{\circ}) = 180^{\circ} - 114^{\circ} = 66^{\circ}$. 2. **Ответ: 64^{\circ}** Рассмотрим рисунок 277: 1) Углы $\angle ABM = 76^{\circ}$ и $\angle BAC = 104^{\circ}$ являются внутренними односторонними при прямых $FE$, $MK$ и секущей $AB$. Проверим их сумму: $76^{\circ} + 104^{\circ} = 180^{\circ}$. Так как сумма равна $180^{\circ}$, то прямые $FE$ и $MK$ параллельны ($FE \parallel MK$). 2) Так как $FE \parallel MK$, то углы $\angle DCE$ и $\angle CDK$ являются соответственными при секущей $CK$. Следовательно, $\angle DCE = \angle CDK = 40^{\circ}$ (исходя из обозначения на рисунке, если дуги равны). **Допущение:** Если под $\angle DCE$ подразумевается угол, смежный с углом треугольника, и учитывая, что $\angle CDK = 40^{\circ}$, а угол $\angle ACD$ (внутренний) будет равен $180 - 104 = 76^{\circ}$, то для нахождения искомого угла нужно четкое понимание расположения точек. Исходя из параллельности: $\angle C = 180^{\circ} - 40^{\circ} - 76^{\circ} = 64^{\circ}$. 3. **Ответ: 14^{\circ}** Рассмотрим рисунок 278: 1) В треугольнике $KNP$ сумма углов $180^{\circ}$. Угол $\angle KNP = 180^{\circ} - (72^{\circ} + 38^{\circ} \text{ из смежного}) = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$ (если $38^{\circ}$ это внешний угол для малого треугольника). 2) Проще рассмотреть внешний угол треугольника: Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Для $\triangle MKF$: $\angle K + \angle M + \angle F = 180^{\circ}$. Угол $\angle M = 24^{\circ}$. Угол $\angle K = 72^{\circ}$. Рассмотрим $\triangle MNF$, где $\angle N$ (внешний для него) равен $38^{\circ} + 72^{\circ} = 110^{\circ}$. Используем треугольник $MKF$: $\angle F = 180^{\circ} - \angle K - \angle M = 180^{\circ} - 72^{\circ} - (24^{\circ} + \text{часть угла})$. Пусть точка пересечения $NP$ и $MF$ дает углы. Из $\triangle$ с углами $24^{\circ}$ и $38^{\circ}$: внешний угол для него $24 + F = 38$. $F = 38^{\circ} - 24^{\circ} = 14^{\circ}$.