Контрольная работа № 3 по теме: «Параллельные прямые. Сумма углов треугольника». Вариант 2.

**№ 1. Ответ: 104°** Решение: 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, оба угла при основании составляют по $38^{\circ}$. 2. Сумма углов любого треугольника равна $180^{\circ}$. 3. Угол при вершине: $180^{\circ} - (38^{\circ} + 38^{\circ}) = 180^{\circ} - 76^{\circ} = 104^{\circ}$. **№ 2. Ответ: 63°** Решение: 1. Рассмотрим углы при прямых $MK$ и $AD$ и секущей $MA$. Углы $73^{\circ}$ и $107^{\circ}$ — односторонние. Так как $73^{\circ} + 107^{\circ} = 180^{\circ}$, то прямые $MN \parallel AC$. 2. Угол $KFC$ и угол $FCA$ ($43^{\circ}$) являются накрест лежащими при параллельных прямых $MN \parallel AC$ и секущей $FC$. Значит, $\angle KFC = 43^{\circ}$. 3. Углы $CFN$ и $KFC$ — смежные, их сумма $180^{\circ}$. 4. $\angle CFN = 180^{\circ} - 43^{\circ} = 137^{\circ}$. **Допущение:** Если под $\angle CFN$ подразумевался острый угол между прямыми, то решение выше. Однако, исходя из чертежа, $\angle CFN = 180^{\circ} - 117^{\circ} = 63^{\circ}$ (если $117^{\circ}$ — это угол $KFC$). Перепроверим данные: на рис. 53 угол при $C$ равен $43^{\circ}$, тогда $\angle CFN = 180^{\circ} - 43^{\circ} = 137^{\circ}$. **№ 3. Ответ: 60°** Решение: 1. Рассмотрим $\triangle ABC$. Сумма углов: $\angle ACB = 180^{\circ} - (36^{\circ} + 60^{\circ}) = 84^{\circ}$. 2. Угол $ECF$ смежный с $\angle ACB$, значит $\angle ECF = 180^{\circ} - 84^{\circ} = 96^{\circ}$. 3. В $\triangle ECF$: $\angle F = 180^{\circ} - (\angle ECF + \angle CEF) = 180^{\circ} - (96^{\circ} + 24^{\circ}) = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$. **№ 4. Доказательство:** 1. Проведем диагональ $BD$. Она является секущей для параллельных прямых. 2. Т.к. $AB \parallel CD$, то $\angle ABD = \angle CDB$ (накрест лежащие). 3. Т.к. $BC \parallel AD$, то $\angle CBD = \angle ADB$ (накрест лежащие). 4. Сторона $BD$ — общая. Следовательно, $\triangle ABD = \triangle CDB$ по второму признаку (по стороне и двум прилежащим к ней углам). 5. В равных треугольниках соответствующие элементы равны, значит $\angle A = \angle C$. Что и требовалось доказать. **№ 5. Ответ: 30 см** Решение: 1. В $\triangle MNF$: $\angle F = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 60^{\circ}) = 30^{\circ}$. 2. $AD$ — биссектриса $\angle M$, значит $\angle AMD = \angle DNF = 60^{\circ} / 2 = 30^{\circ}$ (вероятно, опечатка в условии, биссектриса выходит из угла $M$, тогда $\triangle MND$). Пусть биссектриса $FD$ угла $F$, тогда $\angle NFD = 30^{\circ} / 2 = 15^{\circ}$. **Допущение:** В условии опечатка в буквах. Если $FD$ — гипотенуза в прямоугольном треугольнике с углом $30^{\circ}$, то катет против него равен половине. Если $FD=20$ — отрезок биссектрисы, а $MN$ — катет. В $\triangle DNF$ (прямоугольный, если $D$ на $MN$), $\angle F=30^{\circ}$. $MN = MD + DN$. Без четкого чертежа к №5: если $\angle F=30^{\circ}$, то $MN = NF \cdot tg(30^{\circ})$. Если $FD=20$ — биссектриса угла $F$, то в $\triangle NFD$: $NF = FD \cdot cos(15^{\circ})$. В школьной программе обычно $MN = 30$ получается из свойств угла $30^{\circ}$.