Контрольная работа № 3. Тема: Параллельные прямые. Сумма углов треугольника.

1. **Задача про равнобедренный треугольник** В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если один угол при основании равен $57^{\circ}$, то и второй тоже $57^{\circ}$. Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^{\circ}$. Угол при вершине: $180^{\circ} - (57^{\circ} + 57^{\circ}) = 180^{\circ} - 114^{\circ} = 66^{\circ}$. **Ответ: $66^{\circ}$**. 2. **Задача по Рис. 277 (найти угол DCE)** Рассмотрим прямые $FE$ и $BK$. Угол $FAB = 104^{\circ}$ и угол $ABC = 76^{\circ}$. Сумма этих углов: $104^{\circ} + 76^{\circ} = 180^{\circ}$. Так как это односторонние углы при прямых $FE$, $BK$ и секущей $AB$, то $FE \parallel BK$. Углы $DCE$ и $CDK$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $FE$ и $BK$ и секущей $CD$. Значит, $\angle DCE = \angle CDK = 40^{\circ}$. **Ответ: $40^{\circ}$**. 3. **Задача по Рис. 278 (найти угол F)** Рассмотрим треугольник $MNK$. Сумма его углов: $\angle K + \angle KMN + \angle KNM = 180^{\circ}$. Найдём $\angle KNM = 180^{\circ} - (72^{\circ} + 24^{\circ}) = 180^{\circ} - 96^{\circ} = 84^{\circ}$. Углы $KNM$ и $MNP$ — смежные, значит $\angle MNP = 180^{\circ} - 84^{\circ} = 96^{\circ}$. Рассмотрим треугольник $MNP$. Найдём $\angle MPN = 180^{\circ} - (24^{\circ} + 96^{\circ}) = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$. Углы $MPN$ и $FPK$ — вертикальные, значит $\angle FPK = 60^{\circ}$. Рассмотрим треугольник $KPF$. Сумма его углов: $\angle K + \angle FPK + \angle F = 180^{\circ}$. $\angle F = 180^{\circ} - (72^{\circ} + 60^{\circ}) = 180^{\circ} - 132^{\circ} = 48^{\circ}$. **Ответ: $48^{\circ}$**. 4. **Задача про треугольник ABC** В треугольнике $ABC$: $\angle C = 90^{\circ}$, $\angle A = 30^{\circ}$, значит $\angle B = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$. $BM$ — биссектриса, значит $\angle CBM = \angle ABM = 60^{\circ} : 2 = 30^{\circ}$. Рассмотрим $\triangle ABM$: $\angle A = 30^{\circ}$ и $\angle ABM = 30^{\circ}$. Треугольник равнобедренный, $AM = BM = 6$ см. Рассмотрим прямоугольный $\triangle CBM$: $\angle CBM = 30^{\circ}$. Катет $CM$ лежит против угла в $30^{\circ}$, значит он равен половине гипотенузы $BM$: $CM = 6 : 2 = 3$ см. Катет $AC = AM + CM = 6 + 3 = 9$ см. **Ответ: 9 см**. 5. **Задача по Рис. 279 (Доказать AB || CD)** Дано: $BC \parallel AD$, $BF = DE$, $\angle AED = \angle CFB$. Доказать: $AB \parallel CD$. Так как $BC \parallel AD$, то накрест лежащие углы равны: $\angle CBF = \angle ADE$. Рассмотрим $\triangle BCF$ и $\triangle DAE$. Они равны по стороне и двум прилежащим к ней углам ($BF=DE$, $\angle CBF=\angle ADE$, $\angle CFB=\angle AED$). Из равенства треугольников следует, что $BC = AD$. В четырехугольнике $ABCD$ стороны $BC$ и $AD$ параллельны и равны. По признаку параллелограмма $ABCD$ — параллелограмм. У параллелограмма противоположные стороны параллельны, значит $AB \parallel CD$. Что и требовалось доказать.