Контрольная работа № 3 по теме: «Параллельные прямые. Сумма углов треугольника». Вариант 3.

### Решение контрольной работы № 3 **№ 1.** 1. Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$. 2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. 3. Пусть угол при основании равен $x$. Тогда: $104^{\circ} + 2x = 180^{\circ} \Rightarrow 2x = 76^{\circ} \Rightarrow x = 38^{\circ}$. **Ответ:** $38^{\circ}$, $38^{\circ}$. **№ 2.** (по рис. 56) 1. Рассмотрим прямые $f$ и $p$. Углы с градусной мерой $110^{\circ}$ (при вершинах $F$ и $N$) являются соответственными при пересечении прямых $f$ и $p$ секущей $FT$. Так как соответственные углы равны ($110^{\circ} = 110^{\circ}$), то прямые $f \parallel p$. 2. Угол $\angle BDT$ и угол при вершине $N$ (равный $110^{\circ}$) являются односторонними при параллельных прямых $f \parallel p$ и секущей $DT$. Сумма односторонних углов равна $180^{\circ}$. 3. $\angle BDT = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$. **Ответ:** $70^{\circ}$. **№ 3.** (по рис. 57) 1. В $\triangle ADC$: $\angle ADC = 180^{\circ} - (16^{\circ} + 25^{\circ}) = 180^{\circ} - 41^{\circ} = 139^{\circ}$. 2. Смежный с ним угол $\angle BDC = 180^{\circ} - 139^{\circ} = 41^{\circ}$. 3. В $\triangle BDC$: $\angle BCD = \angle BCA - \angle DCA$. На чертеже $\angle BCA$ не задан целиком, но есть угол $135^{\circ}$ (внешний для $\triangle DEC$ или смежный). Рассмотрим $\triangle DEC$: $\angle DEC = 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ}$. 4. Для $\triangle ABC$: $\angle B = 180^{\circ} - \angle A - \angle C$. Из рисунка $\angle A = 16^{\circ}$. Найдем $\angle C$ через $\triangle DEC$: $\angle C = 180^{\circ} - 135^{\circ} - 25^{\circ} = 20^{\circ}$. Тогда $\angle B = 180^{\circ} - 16^{\circ} - (25^{\circ} + 20^{\circ}) = 180^{\circ} - 61^{\circ} = 119^{\circ}$. **Ответ:** $119^{\circ}$. **№ 4.** (по рис. 58) **Доказательство:** 1. Рассмотрим $\triangle ABO$ и $\triangle CDO$. По условию $AB = CD$ и $AB \parallel CD$. 2. При $AB \parallel CD$ и секущей $AD$: $\angle BAO = \angle CDO$ (как накрест лежащие). 3. При $AB \parallel CD$ и секущей $BC$: $\angle ABO = \angle DCO$ (как накрест лежащие). 4. Следовательно, $\triangle ABO = \triangle DCO$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). 5. В равных треугольниках соответствующие элементы равны, значит $AO = DO$ и $BO = CO$. *Примечание:* В условии просят доказать $AO = CO$. Это возможно, если треугольники равнобедренные. Если $AB = CD$ и $AB \parallel CD$, то фигура $ABCD$ — параллелограмм, где диагонали точкой пересечения делятся пополам ($AO=OC$ только если $AD=BC$). При данных условиях доказано $AO=DO$ и $BO=CO$. **№ 5.** 1. В $\triangle DAB$: $\angle B = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 30^{\circ}) = 60^{\circ}$. 2. $BT$ — биссектриса, значит $\angle ABT = \angle TBD = 60^{\circ} : 2 = 30^{\circ}$. 3. В $\triangle TBD$: $\angle TBD = 30^{\circ}$ и $\angle D = 30^{\circ}$. Значит, $\triangle TBD$ — равнобедренный, $BT = DT = 8$ см. 4. В прямоугольном $\triangle ABT$: $\angle ABT = 30^{\circ}$. Катет $AT$ лежит против угла в $30^{\circ}$, значит $AT = \frac{1}{2} BT = 8 : 2 = 4$ см. 5. $DA = DT + TA = 8 + 4 = 12$ см. **Ответ:** $12$ см.