Контрольная работа № 3. Тема. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника.

1. **Ответ: 66°** В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма всех углов треугольника равна $180^{\circ}$. 1) $57^{\circ} \cdot 2 = 114^{\circ}$ — сумма углов при основании. 2) $180^{\circ} - 114^{\circ} = 66^{\circ}$ — угол при вершине. 2. **Ответ: 40°** 1) На рисунке 277 углы $\angle FAB = 104^{\circ}$ и $\angle ABM = 76^{\circ}$ являются односторонними при прямых $FC$, $MK$ и секущей $AB$. Так как $104^{\circ} + 76^{\circ} = 180^{\circ}$, то прямые $FC \parallel MK$. 2) Углы $\angle DCE$ и $\angle CDK$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $FC \parallel MK$ и секущей $CD$. Накрест лежащие углы равны, значит $\angle DCE = \angle CDK = 40^{\circ}$. 3. **Ответ: 46°** 1) Рассмотрим $\triangle KMN$. Сумма его углов $180^{\circ}$. Найдём $\angle KMN = 180^{\circ} - (72^{\circ} + 24^{\circ}) = 180^{\circ} - 96^{\circ} = 84^{\circ}$. 2) Рассмотрим весь $\triangle KMF$. Сумма его углов $180^{\circ}$. $\angle F = 180^{\circ} - (\angle K + \angle KMF) = 180^{\circ} - (72^{\circ} + 84^{\circ} + 38^{\circ}) - \text{неверно, так как } 38^{\circ} \text{ это часть угла } M$. Допущение: На рисунке 278 угол $38^{\circ}$ — это $\angle MPF$ или внешний угол. Уточним по сумме углов $\triangle MPF$: $\angle F = 180^{\circ} - (38^{\circ} + (180^{\circ}-84^{\circ}-24^{\circ}))$. Проще: в $\triangle KMF$ угол $\angle K = 72^{\circ}$, $\angle M = 24^{\circ} + 38^{\circ} = 62^{\circ}$. $\angle F = 180^{\circ} - (72^{\circ} + 62^{\circ}) = 180^{\circ} - 134^{\circ} = 46^{\circ}$. 4. **Ответ: 9 см** 1) В $\triangle ABC$ $\angle C = 90^{\circ}, \angle A = 30^{\circ}$. Тогда $\angle B = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 30^{\circ}) = 60^{\circ}$. 2) $BM$ — биссектриса $\angle B$, значит $\angle ABM = \angle MBC = 60^{\circ} : 2 = 30^{\circ}$. 3) В $\triangle ABM$ углы $\angle A = 30^{\circ}$ и $\angle ABM = 30^{\circ}$. Значит, $\triangle ABM$ — равнобедренный, $AM = BM = 6$ см. 4) В прямоугольном $\triangle MBC$ катет $MC$ лежит против угла $\angle MBC = 30^{\circ}$, значит он равен половине гипотенузы $BM$: $MC = 6 : 2 = 3$ см. 5) $AC = AM + MC = 6 + 3 = 9$ см. 5. **Доказательство:** 1) Рассмотрим $\triangle AED$ и $\triangle CFB$. По условию $AD \parallel BC$, значит $\angle ADE = \angle CBF$ (накрест лежащие при секущей $BD$). 2) По условию $\angle AED = \angle CFB$ и $BF = DE$. 3) $\triangle AED = \triangle CFB$ по стороне и двум прилежащим углам (2-й признак равенства треугольников: $DE=BF, \angle ADE=\angle CBF, \angle AED=\angle CFB$). 4) Из равенства треугольников следует $AE = CF$ и $\angle EAD = \angle FCB$. 5) Так как $\triangle AED = \triangle CFB$, то и их стороны $AD = BC$ (или использовать признак параллелограмма). В четырехугольнике $ABCD$ стороны $AD \parallel BC$ и $AD = BC$, значит $ABCD$ — параллелограмм. У параллелограмма противоположные стороны параллельны, следовательно $AB \parallel CD$. Что и требовалось доказать.