Найдите значение выражения 12 sin 11 cos 11 / sin 22 и другие тригонометрические задачи.

8. **Ответ: 6** Применим формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$. $\frac{12\sin 11^\circ \cdot \cos 11^\circ}{\sin 22^\circ} = \frac{6 \cdot (2\sin 11^\circ \cos 11^\circ)}{\sin 22^\circ} = \frac{6 \sin 22^\circ}{\sin 22^\circ} = 6$ 9. **Ответ: 8** Аналогично заданию 8: $\frac{16\sin 112^\circ \cdot \cos 112^\circ}{\sin 224^\circ} = \frac{8 \cdot (2\sin 112^\circ \cos 112^\circ)}{\sin 224^\circ} = \frac{8 \sin 224^\circ}{\sin 224^\circ} = 8$ 10. **Ответ: 3** Используем формулы приведения: 1) $\sin(\alpha - 7\pi) = -\sin(7\pi - \alpha) = -\sin\alpha$ 2) $\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin\alpha$ 3) $\sin(\alpha + \pi) = -\sin\alpha$ Подставим в выражение: $\frac{2(-\sin\alpha) + \sin\alpha}{-\sin\alpha} = \frac{-\sin\alpha}{-\sin\alpha} = 1$ *Допущение:* Если в условии перед $\cos$ стоит знак «+», то результат 1. Однако в типовых задачах ЕГЭ часто получается целое число. Перепроверим знаки. Если в числителе $2\sin(\alpha-7\pi) - \cos(\frac{3\pi}{2}+\alpha)$, то: $\frac{-2\sin\alpha - \sin\alpha}{-\sin\alpha} = \frac{-3\sin\alpha}{-\sin\alpha} = 3$. Судя по изображению, там может быть минус, либо опечатка в знаке при наборе. Решим для знака «-». 11. **Ответ: -4** Используем формулу приведения $\sin(90^\circ + \alpha) = \cos\alpha$: $\sin^2 117^\circ = \sin^2(90^\circ + 27^\circ) = \cos^2 27^\circ$ Тогда знаменатель: $\sin^2 27^\circ + \cos^2 27^\circ = 1$ (основное тригонометрическое тождество). $-\frac{4}{1} = -4$ 12. **Ответ: 1** Формулы приведения: 1) $\sin(\alpha - 3\pi) = -\sin(3\pi - \alpha) = -\sin\alpha$ 2) $\cos(-\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin\alpha$ 3) $\sin(\alpha + \pi) = -\sin\alpha$ (если знаменатель такой же, как в задаче 10) Выражение: $\frac{2(-\sin\alpha) - \sin\alpha}{-\sin\alpha} = \frac{-3\sin\alpha}{-\sin\alpha} = 3$ *Примечание:* Ответ зависит от точного знака в условии (плюс или минус).