Вычислите: 1) а) sin²(π/6) - cos²(π/3); 11. Упростите выражение: 1) а) sin²α + cos²α + ctg²α

Для решения воспользуемся табличными значениями тригонометрических функций и основными формулами. **7. Вычислите:** 1) а) $\sin^2 \frac{\pi}{6} - \cos^2 \frac{\pi}{3} = (\frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0$ б) $2\sin^2 \frac{\pi}{4} + 3\cos^2 \frac{\pi}{4} = 2 \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + 3 \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = 2 \cdot \frac{2}{4} + 3 \cdot \frac{2}{4} = 1 + 1.5 = 2.5$ в) $\operatorname{tg}^2 \frac{\pi}{3} \operatorname{ctg}^2 \frac{\pi}{6} = (\sqrt{3})^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 3 \cdot 3 = 9$ г) $\sin \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{4} \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 = \frac{2}{4} = 0.5$ 2) а) $\sin^2 (-\frac{\pi}{4}) + \cos^2 (-\frac{\pi}{4}) = (-\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ (Или по основному тождеству: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$) б) $3\cos^2 (-\frac{\pi}{6}) \operatorname{tg}^2 (-\frac{\pi}{3}) = 3 \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 \cdot (-\sqrt{3})^2 = 3 \cdot \frac{3}{4} \cdot 3 = \frac{27}{4} = 6.75$ в) $\operatorname{tg}^2 (-\frac{\pi}{6}) + \operatorname{ctg}^2 (-\frac{\pi}{2})$ — Выражение не определено, так как $\operatorname{ctg} \frac{\pi}{2} = 0$, но в задании $-\frac{\pi}{2}$. Если это $-\frac{\pi}{6}$ и $-\frac{\pi}{3}$: в) $\operatorname{tg}^2 (-\frac{\pi}{6}) + \operatorname{ctg}^2 (-\frac{\pi}{6}) = (-\frac{\sqrt{3}}{3})^2 + (-\sqrt{3})^2 = \frac{3}{9} + 3 = 3\frac{1}{3}$ г) $\operatorname{tg}^2 (-\frac{\pi}{4}) \operatorname{ctg}^2 (-\frac{\pi}{4}) = (-1)^2 \cdot (-1)^2 = 1 \cdot 1 = 1$ **11. Упростите выражение:** 1) а) $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \operatorname{ctg}^2 \alpha = 1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$ б) $\sin^2 \alpha (1 + \operatorname{tg}^2 \alpha) = \sin^2 \alpha \cdot \frac{1}{\cos^2 \alpha} = \operatorname{tg}^2 \alpha$ в) $1 - \frac{1}{\sin^2 \alpha} = - (\frac{1}{\sin^2 \alpha} - 1) = -\operatorname{ctg}^2 \alpha$ г) $4 - \operatorname{tg} \alpha \operatorname{ctg} \alpha = 4 - 1 = 3$ 2) а) $\sin^4 \beta - \cos^4 \beta + \cos^2 \beta = (\sin^2 \beta - \cos^2 \beta)(\sin^2 \beta + \cos^2 \beta) + \cos^2 \beta = (\sin^2 \beta - \cos^2 \beta) \cdot 1 + \cos^2 \beta = \sin^2 \beta$ б) $\sin^4 \beta + \sin^2 \beta \cos^2 \beta = \sin^2 \beta (\sin^2 \beta + \cos^2 \beta) = \sin^2 \beta \cdot 1 = \sin^2 \beta$ в) $\operatorname{tg}^2 \beta \operatorname{ctg}^2 \beta - \sin^2 \beta = 1 - \sin^2 \beta = \cos^2 \beta$ г) $\frac{1 - \cos^2 \beta}{\sin^2 \beta - 1} = \frac{\sin^2 \beta}{-\cos^2 \beta} = -\operatorname{tg}^2 \beta$ **Ответ:** **7.1:** а) 0; б) 2.5; в) 9; г) 0.5. **7.2:** а) 1; б) 6.75; в) $3\frac{1}{3}$ (при $-\pi/6$); г) 1. **11.1:** а) $\frac{1}{\sin^2 \alpha}$; б) $\operatorname{tg}^2 \alpha$; в) $-\operatorname{ctg}^2 \alpha$; г) 3. **11.2:** а) $\sin^2 \beta$; б) $\sin^2 \beta$; в) $\cos^2 \beta$; г) $-\operatorname{tg}^2 \beta$.