Вычислите: 1) а) sin² π/6 - cos² π/3; б) 2sin² π/4 + 3cos² π/4

Для решения заданий на вычисление тригонометрических выражений используются значения тригонометрических функций стандартных углов ($0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}$ и т.д.) и формулы приведения. **7. Вычислите:** 1) а) $\sin^2 \frac{\pi}{6} - \cos^2 \frac{\pi}{3} = (\frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0$ б) $2\sin^2 \frac{\pi}{4} + 3\cos^2 \frac{\pi}{4} = 2 \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + 3 \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = 2 \cdot \frac{2}{4} + 3 \cdot \frac{2}{4} = 1 + 1,5 = 2,5$ в) $\text{tg}^2 \frac{\pi}{3} \text{ctg}^2 \frac{\pi}{6} = (\sqrt{3})^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 3 \cdot 3 = 9$ г) $\sin \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{4} \text{tg}^2 \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = \frac{2}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ 2) а) $\sin^2 (-\frac{\pi}{4}) + \cos^2 (-\frac{\pi}{4}) = 1$ (основное тригонометрическое тождество) б) $3\cos^2 (-\frac{\pi}{6}) \text{ctg}^2 (-\frac{\pi}{3}) = 3 \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 \cdot (-\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = 3 \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{4} = 0,75$ в) $\text{tg}^2 (-\frac{\pi}{6}) + \text{ctg}^2 (-\frac{\pi}{2})$ — $\text{ctg} \frac{\pi}{2} = 0$, значит: $(-\frac{1}{\sqrt{3}})^2 + 0^2 = \frac{1}{3}$ г) $\text{tg}^2 (-\frac{\pi}{4}) \text{ctg}^2 (-\frac{\pi}{4}) = (-1)^2 \cdot (-1)^2 = 1 \cdot 1 = 1$ **11. Упростите выражение:** 1) а) $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \text{ctg}^2 \alpha = 1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$ б) $\sin^2 \alpha (1 + \text{tg}^2 \alpha) = \sin^2 \alpha \cdot \frac{1}{\cos^2 \alpha} = \text{tg}^2 \alpha$ в) $1 - \frac{1}{\sin^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha - 1}{\sin^2 \alpha} = -\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = -\text{ctg}^2 \alpha$ г) $4 - \text{tg} \alpha \text{ctg} \alpha = 4 - 1 = 3$ 2) а) $\sin^4 \beta - \cos^4 \beta \sin^2 \beta$ — недостаточно данных (возможно опечатка в условии, проверьте степени). б) $\sin^4 \beta + \sin^2 \beta \cos^2 \beta = \sin^2 \beta (\sin^2 \beta + \cos^2 \beta) = \sin^2 \beta \cdot 1 = \sin^2 \beta$ в) $\text{tg}^2 \beta \text{ctg}^2 \beta - \sin^2 \beta = 1 - \sin^2 \beta = \cos^2 \beta$ г) $\frac{1 - \cos^2 \beta}{1 - \sin^2 \beta} - 1 = \frac{\sin^2 \beta}{\cos^2 \beta} - 1 = \text{tg}^2 \beta - 1$