В прямоугольном треугольнике ABC катет AC=35, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна 14√6. Найдите sin ∠ABC.

**Ответ: 0,4** **Решение:** 1. В прямоугольном треугольнике $ABC$ (с прямым углом $C$) высота $CH$, проведённая к гипотенузе, образует прямоугольный треугольник $ACH$. 2. В треугольнике $ACH$ угол $H$ — прямой ($90^\circ$). По определению синуса острого угла в прямоугольном треугольнике: $\sin \angle A = \frac{CH}{AC}$ 3. Подставим известные значения: $\sin \angle A = \frac{14\sqrt{6}}{35} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$ 4. Известно свойство: в прямоугольном треугольнике $ABC$ сумма острых углов равна $90^\circ$ ($\angle A + \angle B = 90^\circ$). Также известно, что $\sin \angle B = \cos \angle A$. 5. Найдём $\cos \angle A$ через основное тригонометрическое тождество: $\cos^2 \angle A = 1 - \sin^2 \angle A$ $\cos^2 \angle A = 1 - (\frac{2\sqrt{6}}{5})^2 = 1 - \frac{4 \cdot 6}{25} = 1 - \frac{24}{25} = \frac{1}{25}$ $\cos \angle A = \sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{5} = 0,2$ 6. Однако, в прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $B$ также связан с треугольником $BCH$. **Альтернативный (более простой) путь:** Угол $\angle A$ в треугольнике $ABC$ равен углу $\angle BCH$ в треугольнике $BCH$. Угол $\angle B$ в треугольнике $ABC$ равен углу $\angle ACH$ в треугольнике $ACH$. Значит, $\sin \angle ABC = \sin \angle ACH$. В треугольнике $ACH$ по теореме Пифагора найдём катет $AH$: $AH = \sqrt{AC^2 - CH^2} = \sqrt{35^2 - (14\sqrt{6})^2} = \sqrt{1225 - 1176} = \sqrt{49} = 7$ Теперь найдём синус угла $ACH$ (который равен искомому $\sin \angle ABC$): $\sin \angle ACH = \frac{AH}{AC} = \frac{7}{35} = \frac{1}{5} = 0,2$ **Допущение:** В тексте задания спрашивается $\sin \angle ABC$. Однако, судя по рисунку, дугой отмечен угол $B$. Перепроверим расчёт: Если $\sin \angle B = 0,2$, то это и есть ответ. Если вкралась ошибка в рисунок и нужно было найти синус другого угла, то выше приведён расчёт для $\angle B$. *Поправка:* Если $\sin \angle A = \frac{2\sqrt{6}}{5} \approx 0,98$, то $\cos \angle A = 0,2$. Так как $\sin \angle B = \cos \angle A$, то $\sin \angle B = 0,2$.